¿Implica Seperable + Primera Contable + Base Sigma-Localmente Finita Segunda Contable?

Question

Un espacio topológico es separable si tiene un subconjunto denso contable. Un espacio es primero contable si tiene una base contable en cada punto. Es contable en segundo lugar si existe una base contable para todo el espacio. Una colección de subconjuntos de un espacio es localmente finita si cada punto tiene una vecindad que interseca sólo a un número finito de conjuntos de la colección. Una colección de subconjuntos de un espacio es sigma-localmente finita (también conocida como localmente finita) si es la unión de un número contable de colecciones localmente finitas.

Mi pregunta es, si un espacio es separable, primeramente contable, y tiene una base sigma-localmente finita, ¿debe ser también segundo contable? Creo que la respuesta es sí, porque no he encontrado ningún contraejemplo aquí .

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias por adelantado.

EDIT: He corregido mi pregunta. Me refería a que el espacio debe tener una base localmente finita, no a que sea localmente finito en sí mismo, lo que realmente no significa mucho.

Answer 1

El Teorema de metrización de Nagata-Smirnov dice que un $T_3$ espacio con un $\sigma$ -La base localmente finita es metrizable (y a la inversa). Un espacio metrizable separable es segundo contable. Así, si su espacio es $T_3$ La respuesta a su pregunta es sí .

Answer 2

Dejemos que $\mathcal{B} = \cup_n \mathcal{B}_n$ ser un $\sigma$ -base localmente finita (todos los conjuntos no vacíos), y que $D = \{d_n: n \in \mathbb{N} \}$ sea un subconjunto denso de $X$ (como dije en mi comentario, $X$ es automáticamente primero contable por tener tal base, así que no usaré esa suposición).

Por cada $n$ , $d_n$ está como máximo en un número contable de miembros de $\mathcal{B}$ como en es a lo sumo un número finito de miembros de $\mathcal{B}_k$ por cada $k$ Obsérvese que sólo necesitamos que cada uno de ellos sea punto-finito, no localmente finito; lo mismo vale para la primera contabilidad. Llamemos a estos miembros que contienen $d_n$ : $\mathcal{B}^n$ , este es un conjunto contable.

Entonces, como $D$ es denso, por lo que cada miembro de $\mathcal{B}$ contiene algunos $d_k$ Así que $\mathcal{B} = \cup_n \mathcal{B}^n$ Así que $\mathcal{B}$ ya es una base contable para $X$ .

Así que en resumen: sí, esto se mantiene, incluso: cada espacio $X$ con un $\sigma$ -Una base definida por puntos que es separable tiene una base contable. O bien, una familia punto-contable de subconjuntos abiertos no vacíos en un espacio separable es (a lo sumo) contable...

Answer 3

Por ejemplo:

Espacio de Helly; Topología de intervalo medio abierto derecho; Topología de líneas paralelas débiles.

Estos espacios son todos separables, primero contables y paracompactos, pero no segundos contables. Obsérvese que un paracompacto es la unión de un colección finita local.