¿Cómo entender la definición de vector y tensor?

Question

Los textos de física suelen definir un vector como algo que se transforma como un vector y un tensor como algo que se transforma como un tensor, lo cual es diferente de la definición en los libros de matemáticas. Estoy teniendo dificultades para entender este tipo de definición. Para mí, parece algo así:

1. Primero tenemos una colección de bases o sistemas de coordenadas (¿representan estos marcos de referencia?) y las transformaciones entre ellos.

2. Un vector/tensor es una asignación de una serie de números a cada base, y estas series están relacionadas entre sí por transformaciones de coordenadas.

Me pregunto cómo se especifican los sistemas de coordenadas y las transformaciones.

1. ¿Necesitamos todos los posibles sistemas de coordenadas y transformaciones para definir un espacio vectorial o solo unos pocos de ellos?

2. ¿Cómo definir el concepto de base y de transformación de coordenadas sin completar la noción misma de vector?

Answer 1

Existen dos conceptos matemáticos que ambos se llaman vector. El primero, el vector del espacio vectorial lineal, es el "objeto multicomponente" básico del que parece que principalmente estás hablando. La segunda noción de un vector es la de un miembro del llamado "fibrado tangente" de una variedad. La segunda noción es la que se define de manera equivalente al vector físico.

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El espacio vectorial lineal matemático

El espacio vectorial lineal matemático se refiere simplemente a cualquier objeto que se pueda sumar, multiplicar,... pero que puede ser más que un mero número (es decir, tener más componentes). Tu vector matemático podría ser, por ejemplo, una "colección de frutas" con la base siendo una manzana y una naranja. Puedes tener dos manzanas y 3 naranjas y media representadas por un vector $(2,3.5)$. Puedes duplicar tu colección de frutas $2\cdot(2,3.5)=(4,7)$, o puedes sumar tu colección de frutas a la colección de frutas de un amigo de $A$ manzanas y $O$ naranjas $(2,3.5)+(A,O) = (2+A,3.5+O)$. Incluso puedes entrar en "deuda de frutas" al pedir prestadas y comer frutas y tener colecciones de frutas negativas. Este es un espacio vectorial lineal matemático perfecto.

Puedes descubrir que, por ejemplo, ciertos tipos de funciones abarcan un espacio vectorial lineal de dimensión infinita con los valores de la función actuando como componentes $V_i \to V_x = V(x)$. Una vez más, incluso puedes definir un "producto punto" sumando sobre los componentes infinitos $\vec{V}\cdot \vec{W} = \sum_i V_i W_i \to \int V(x) W(x)$. Y así sucesivamente. Esto fue solo para mostrar que el espacio vectorial lineal matemático es una etiqueta para objetos muy generales mucho más allá del alcance de un vector físico en el espacio tridimensional.

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El vector físico

Hablamos de un vector en el espacio euclidiano sin distinguir dónde "vive". Cuando dibujamos una imagen de la flecha, por ejemplo, del vector de velocidad en el espacio tridimensional, ¿significa que la punta de la flecha realmente toca el punto en el espacio donde termina? Seguramente no, esto solo sería cierto para el vector de distancia.

Ahora debemos establecer una distinción entre objetos que llamamos vectores en física. Un tipo son los vectores de distancia, que no se transforman como un vector a menos que apunten desde el origen, y los vectores "polares", los verdaderos vectores físicos. Estos vectores polares incluyen: velocidad, fuerza, aceleración e intensidad eléctrica. (Los productos vectoriales de vectores "axiales" y polares también son vectores polares.)

Sabemos cómo los puntos en el espacio se transforman bajo transformaciones de coordenadas y el vector de velocidad es en realidad tangente a dos puntos infinitamente cercanos en el espacio. A partir de este hecho, podemos deducir cómo se transforma la velocidad: los puntos se transforman según la transformación de coordenadas, y el vector de velocidad se transforma según la diferencia de la transformación en puntos infinitamente cercanos - la matriz jacobiana. Esto también se puede mostrar que es cierto para el vector de aceleración.

Ahora queremos formular ecuaciones para velocidades y aceleraciones - es necesario que estas ecuaciones nos den los mismos resultados sin importar cómo elijamos describir la situación. Por lo tanto, requerimos que todos los demás términos en la ecuación se transformen de la misma manera que la velocidad/aceleración bajo transformaciones de coordenadas. Probablemente ya conozcas esto como el principio de covarianza. Esta es la única motivación de la definición de "el verdadero vector físico".

Sin embargo, al considerar una nueva cantidad física, no podemos simplemente definirla como covariante con la velocidad - debemos mostrar explícitamente que un objeto está transformándose de manera consistente de esta forma debido a argumentos físicos. Esta es la razón por la que los físicos suelen dar una definición técnica simplificada de un vector por transformación, porque en muchos casos esta es la formulación más práctica para el cálculo real.

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El tensor físico

Los tensores físicos surgen principalmente en el contexto de la mecánica de medios continuos. Digamos que no queremos seguir la evolución de un punto, sino una deformación infinitesimal de un cubo infinitesimal. Para esto, necesitamos tres vectores que muestren la deformación de cada borde del cubo (9 componentes en total) haciéndolo un "vector de vectores".

Es intuitivo que cada uno de estos 3 vectores de deformación que muestra una deformación infinitesimal se transformará con la matriz jacobiana. Sin embargo, estos vectores de deformación no son independientes: digamos que el cubo rota por un ángulo, entonces los 3 vectores de deformación se mezclan y para un cubo infinitesimal esto se hace nuevamente mediante la matriz jacobiana. Es decir, multiplicamos cada vector del "vector de vectores" por la matriz jacobiana y luego también los mezclamos multiplicando todo el "vector de vectores" por la matriz jacobiana.

En general, el concepto de vectores y tensores está vinculado a la linearización o localización diferencial de un hecho físico dado siempre llevando a transformaciones a través de la matriz jacobiana. Es una afirmación no trivial de la física clásica que nos dice que a través de la descripción de estas linearizaciones, podemos describir el comportamiento del todo.

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Espacios tangentes y vectores que viven en ellos

Las ideas físicas mencionadas pueden conciliarse fácilmente con algunas ideas matemáticas. La forma más intuitiva de ver por qué los vectores no viven en el mismo espacio que los puntos físicos es imaginar una superficie curva con una trayectoria sobre ella. El vector de velocidad de la trayectoria generalmente apunta "fuera" de la superficie. Sin embargo, todos los posibles vectores de velocidad en un punto dado abarcan solo una superficie bidimensional que es tangente a la superficie curva en ese punto.

Los matemáticos toman esta noción y definen un manifold tangente en cada punto de un espacio como el espacio de vectores tangentes a las trayectorias en un punto dado (lo hacen con un truco ingenioso que hace que el término "tangente a una trayectoria" esté bien definido). Entonces, los vectores tangentes a las trayectorias pueden mostrarse que se transforman una vez más con la matriz jacobiana y abarcan un espacio vectorial lineal matemático en cada punto. Cuando tomamos todo el conjunto de "superficies tangentes" o manifolds tangentes, obtenemos algo a lo que llamamos un fibrado tangente.

Por lo tanto, los vectores físicos en realidad viven en estos manifolds tangentes unidos a cada punto en el espacio, no en el espacio en sí mismo. Los tensores también pueden generalizarse muy fácilmente como "vectores de vectores" que viven en "manifolds tangentes por manifolds tangentes".

La estructura coincidente del espacio plano y del manifold tangente plano lleva a una confusión más o menos inofensiva, pero esto debe resolverse una vez nos estemos moviendo en un espacio(-tiempo) curvo.

Answer 2

Permíteme empezar con una tautología: Los vectores son objetos geométricos que viven en un espacio vectorial XD Hasta aquí no dice nada, pero siempre hemos tenido la imagen mental de un vector como una flecha.

Un poco más en la abstracción (todavía con nuestra idea de una flecha representando un vector), se puede encontrar un conjunto de transformaciones de vectores que preserva las propiedades de los vectores, por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$ las rotaciones mantienen las propiedades de los vectores${}^*$, incluida su norma. Expresado matemáticamente${}^\dagger$, $$\vec{V}\to \vec{V}^\prime = \mathbf{R}\vec{V}.$$

Entonces, un vector se transforma de manera homogénea, es decir, hay una transformación para cada vector, pero sin términos adicionales.

Ahora, imagina que tienes dos copias de espacios vectoriales... y los "pones juntos", por ejemplo, comienzas con $\mathbf{V}$ y construyes la operación de "poner juntos" para obtener esta nueva cosa (permíteme llamarla) $\mathbf{V}\otimes\mathbf{V}$.

Esta construcción está definida de tal manera que si quiero rotar los vectores... necesariamente rotaré ambos espacios (porque son réplicas del primero). Entonces, si llamo $\mathbf{T}\in\mathbf{V}\otimes\mathbf{V}$ a un elemento en este nuevo espacio vectorial, se transformará (bajo las mismas transformaciones del vector) como $$\mathbf{T}\to \mathbf{T}^\prime = \left(\mathbf{R}\otimes\mathbf{R}\right)\mathbf{T},$$ donde la primera rotación actúa en la primera copia de $\mathbf{V}$ y lo mismo para la segunda. Moral: $\mathbf{T}$ se transforma de manera homogénea, pero con dos de las transformaciones esperadas de un vector.

Se puede pasar la vida construyendo espacios vectoriales más grandes considerando más copias de $\mathbf{V}$.

Tensores... ¿Cómo se definen?

Ingredientes:

• Un conjunto de objetos (geométricos).
• Un campo (números reales o complejos están bien).
• Una operación de "escalado" (multiplicación) entre elementos del campo (números) y nuestros objetos geométricos, $\cdot:\mathbb{K}\times \mathbf{V}\to\mathbf{V}$.
• Un operador de adición entre nuestros objetos geométricos, $+:\mathbf{V}\to\mathbf{V}$.

Hasta aquí lo anterior define tus vectores (o espacio vectorial). Pero como antes, puedes proporcionar un grupo de transformaciones, $G$, que preserve las propiedades deseables de tus vectores,${}^{\dagger\dagger}$ y $$\vec{V}\to \vec{V}^\prime = \Lambda\vec{V},\quad \text{para } \Lambda\in G.$$

Por lo tanto, se dice que nuestros objetos son de hecho vectores bajo el grupo de transformaciones de $G$. Así que, el grupo de transformación debería incluirse en la lista de ingredientes.

• Un grupo de transformaciones $G$.

TENSORES

Un tensor (por extensión de la construcción anterior) es un objeto geométrico que bajo el grupo $G$ se transforma homogéneamente, $$\mathbf{T} \to \mathbf{T}^\prime = \Lambda\;\cdots\Lambda \mathbf{T}.$$

El número de elementos de transformación define el orden del tensor.

NOTA 1: ¡Un vector es un tensor de primer orden!

NOTA 2: Dado que los tensores están definidos bajo un grupo de transformaciones, un tensor bajo un grupo puede no ser un tensor (o al menos no ser el mismo tipo de tensor) bajo otro grupo.

¿Necesitamos todos los posibles sistemas de coordenadas y transformaciones para definir un espacio vectorial o solo algunos de ellos?

A partir de todo lo anterior, puedes concluir que necesitas UN sistema de coordenadas y el grupo de transformaciones. Inmediatamente se considera cualquier otro sistema de coordenadas relacionado con el anterior.

(nota ¡No entendí tu última duda, así que la termino aquí!)

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${}^*$ La transformación de coordenadas es otro grupo de transformaciones válido

${}^\dagger$ $\mathbf{R}$ representa la transformación de rotación.

${}^{\dagger\dagger}$ El conjunto de transformaciones no necesariamente es una rotación.

Answer 3

Matemáticamente, la idea de un vector es anterior. Podrías definir objetos que cumplan todas las propiedades de un espacio vectorial sin hacer referencia a componentes o algo más.

A partir de la noción de un vector se puede derivar que existe un número máximo de vectores linealmente independientes y que cualquier vector en tu espacio vectorial puede ser representado de manera única por una combinación lineal de estos vectores base. Entonces representas el vector como el conjunto de coeficientes de esta combinación lineal.

Dado que estos componentes codifican un objeto más abstracto, realmente tienen que cambiar de acuerdo con algunas reglas si eliges un conjunto diferente de vectores base.

En las escuelas y en las clases introductorias de física generalmente se omiten los pasos más abstractos para llegar a las conclusiones anteriores. Simplemente se definen los vectores como un conjunto de coeficientes en el espacio euclidiano $R^3$, que se comportan de una manera específica bajo rotaciones. Resulta que esto es equivalente a una definición más rigurosa en las aplicaciones más sencillas y tiene la ventaja de que es muy fácil de relacionar: realmente puedes imaginar el vector y su comportamiento bajo un cambio de base.

Además, este enfoque no requiere mucho pensamiento abstracto y ya puedes resolver la mayoría de los problemas en la mecánica clásica de esta manera. Por lo tanto, en las escuelas o en las clases de ingeniería, apenas se necesita un refinamiento del concepto. Los físicos aprenderán la forma más abstracta de trabajar con vectores de todos modos, tan pronto como comiences a aprender sobre la mecánica cuántica.

Entonces, en resumen, el enfoque matemático es definir vectores de manera abstracta y derivar todas las propiedades que conocemos, mientras que el enfoque físico es definir un vector a través de sus propiedades y aprender sobre relaciones adicionales solo cuando realmente necesitas expandir el marco de trabajo.

Answer 4

¿Cómo definir el concepto de base y transformación de coordenadas sin completar la noción misma de vector?

No podemos. Las bases son para vectores así como $0$ y $1$ son para números naturales (como en los axiomas de Peano). Podemos comenzar con $0$, o $1$, o incluso $376$, pero necesitamos tener algo con qué empezar.
Sin los vectores base, no podemos definir un espacio vectorial (y por lo tanto una transformación de coordenadas), y por lo tanto no podemos definir ningún otro vector o tensor. Revisa esta pregunta y respuesta.

¿Representan estas (bases) marcos de referencia?

Sí, las bases representan marcos de referencia.

¿Necesitamos todos los posibles sistemas de coordenadas y transformaciones para definir un espacio vectorial o solo unos pocos de ellos?

Para definir y medir un escalar o vector (o un tensor), necesitamos al menos un sistema de coordenadas, y eso es suficiente.

Un vector/tensor es una asignación de un arreglo de números a cada base, y estos arreglos están relacionados entre sí por transformaciones de coordenadas.

Aunque no es una forma formal de definir un vector/tensor, esto es correcto. Un vector o un tensor es una colección (arreglo) de bases y, si bien esta colección es diferente en diferentes sistemas de coordenadas, para el mismo vector o tensor, estas colecciones están relacionadas entre sí por transformaciones de coordenadas.

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Lo siguiente es un intento de aclarar el último punto mencionado arriba y la necesidad detrás de las transformaciones de coordenadas, comenzando con el ejemplo de un escalar.

Si mido un poste de $6m$ de largo con mi regla (base) que mide $2m$, mi medida será de $3$ unidades.
Otra elección de base (en otro sistema) puede ser una regla de $1m$ de largo, y luego la longitud del poste sería de $6$ unidades.

La longitud real del poste - el invariante escalar - permanece igual, mientras que su medida en diferentes marcos (usando diferentes bases) difiere. Y podemos tener reglas de transformación entre los diferentes marcos, de modo que al conocer la medida en un marco, podemos calcular en otro sin necesidad de hacer la medición. También note que la longitud del poste en cualquier marco es una colección de sus bases (definida por la adición escalar).

De manera similar, para los vectores, no tenemos $1$ sino $3$ bases. Y el vector es una colección de estas $3$ bases, sin embargo, esta vez, no definida por la adición escalar sino tanto la adición escalar como vectorial. Y mientras estas bases pueden diferir entre diferentes sistemas de coordenadas, el vector permanece invariante. Tenemos reglas de transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas.

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Las tres bases en un espacio vectorial nos dan $3$ componentes para cualquier vector. En el caso de los vectores, esta colección de 3 bases se puede visualizar como una única entidad aplicando adición vectorial. Pero las $3$ bases también pueden combinarse de diversas maneras dando más de $3$ componentes, con estos componentes no siguiendo las reglas de la adición vectorial. Además, podemos tener más de $3$ bases. Así es como obtenemos tensores.

Mientras estemos limitados a combinar bases solo de acuerdo con la adición escalar o vectorial, cualquier número de bases nos dará un vector, de lo contrario un tensor.

La entidad denotada por la combinación de las bases de diferentes maneras - el tensor - permanece invariante, y esta restricción nos da las reglas de transformación entre diferentes sistemas de coordenadas (que tienen bases diferentes).

Finalmente, cualquier combinación (o colección) de bases que no siga la adición escalar o vectorial no se puede visualizar, y por lo tanto no podemos percibir generalmente los tensores como una entidad física única y coherente. Pero, tanto desde el punto de vista de la física como de las matemáticas, son tanto una entidad única como escalares y vectores.