Solución numérica de x = tan (x)

Question

Necesitaba encontrar, usando el método de bisección, el primer valor positivo que satisfaga $x = \tan(x)$ . Así que fui a Scilab, escribí el método de bisección y obtuve $1.5707903$ . Pero después de razonar un poco he llegado a la conclusión de que este valor es erróneo:

1. $\tan(1.5707903) \approx 1.6x10^5$ . Ni siquiera cerca de $1.5707903$ .
2. Olvida por un momento lo anterior. $x = \tan(x)$ es en realidad encontrar puntos fijos de $f(x) = \tan(x)$ ; $(x, f(x))$ debe estar en la línea $y = x$ . Aquí es la trama:

En $(0, \frac{3}{2}\pi)$ Sólo puedo ver un punto fijo a la derecha de $x = 4$ Por lo tanto $1.5707903$ se equivoca.

Aquí viene la parte interesante. Si usted vaya a Wolfram Alpha y escriba $x = \tan(x)$ Verás que $1.5708$ en la sección de Parcela:

Sin embargo, no hay $1.5708$ en la sección Soluciones numéricas. Wolfram Alpha encontró $0, \pm 4.49340945790906, \ldots$ .

Pero si escribe $\tan(x) = x$ no verás $1.5708$ en el apartado de Parcela!:

Para resumir:

1. Es $4.49340945790906$ el primer valor positivo que satisfaga $x = \tan(x)$ ?
2. ¿Sabes por qué Wolfram Alpha muestra $1.5708$ como solución al escribir $x = \tan(x)$ pero no cuando se escribe $\tan(x) = x$ ?

Gracias.

Answer 1

Como se ve en el gráfico de $\tan x$ , estás interceptando la asíntota, lo que no es realmente el comportamiento deseado. La bisección no es el mejor método a utilizar.

Sin embargo, si se requiere el uso de la bisección, entonces en lugar de ello, tenga en cuenta que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ por lo que, para valores relevantes de $x$ ,

$$x = \tan x \implies x\cos x - \sin x = 0$$

Esta última función es continua, y debería obtener la solución deseada de $x \approx 4.49$ .

Answer 2

La razón por la que obtienes esta "solución" es porque el método de bisección asume que la función es continua en el rango, que no es . Dado que la función a ambos lados de $x=\pi/2$ es $\pm \infty$ el método de bisección siempre convergerá a esta "solución".

Answer 3

Tengo un código de MathLab, que se basa en el método de bisección; Aquí está:

clc borrar % Ceros de la ecuación x = tan(x); % Las raíces de la ecuación x=tanx mediante el método de bisección % z representa la raíz % epsilon es el error % NR es el número de raíces que se desea; número de raíces = 2*NR+1 % Max es el número de bisecciones

epsilon = 0,0001; NR = 2; Max = 100;

g=@(x) x-tan(x);

para k = -NR:NR a = (2*k-1)*pi/2 + épsilon; b = (2*k+1)*pi/2 - epsilon; si feval(g,a)*feval(g,b) < 0 para j=1:Max z = (a+b)/2; si (feval(g,a)*feval(g,z) < 0) b=z; elseif (feval(g,a)*feval(g,z) > 0) a=z; fin fin
si feval(g,z) < epsilon %error
z fin end end

% de salidas para NR=2 son : -7.7253 , -4.4934 , 0 , 4.4934 , 7.7253

Answer 4

1.57 es incorrecto porque tan π/2 no está definido 3.14/2 es 1.57 por lo tanto no está definido y no puede ser denominado como el menor valor positivo de tan X = x..por lo tanto el menor valor positivo es 4.49 para tanx = x