¿Cuál es la definición formal de una categoría dual?

Question

Estoy leyendo este libro como una introducción a la categoría y tengo un problema con la definición de la doble categoría dada en la página 25. La forma correcta para obtener el doble de la categoría puede ser descrito girando alrededor de flechas y permuting el orden de su composición. Sin embargo no sé cómo funciona todo esto con la declaración de

$$\text{hom}_{\bf{A^{OP}}}(A,B)=\text{hom}_{\bf{A}}(B,A).$$

El conjunto de morfismos $\text{hom}_{\bf{A}}(B,A)$ ya está definido y la categoría de $\bf{A}^{OP}$ es sopposed para contener morfismos, que se da la vuelta, es decir, morfismos con diferente dominio y codominio. ¿Cómo pueden estos nuevos igualdad de la una de la primera categoría? Recuerdo haber leído esto antes en un libro, y aunque el inglés de wikipedia no utiliza esta expresión, el ruso (?) parece que el uso de esta definición así.

Así que decir que tengo una categoría $\bf{C}$ con sólo dos objetos de $a,b$, así como un solo de morfismos $f$$a$$b$. A partir de la descripción creo que la doble categoría de $\bf{C}^{OP}$ es el con $a,b$ y una flecha de $b$$a$. ¿Cómo funciona la fórmula de trabajo si este nuevo morfismos no está contenida en $\bf{C}$, por lo que el $\text{hom}_{\bf{C}}(b,a)$ es esencialmente vacío?

Answer 1

El punto es que de origen y de destino de morfismos no son una propiedad intrínseca de los morfismos sí mismos, pero es más como una propiedad de la categoría.

En general, usted puede ver el mismo elemento de un conjunto, como una de morfismos de dos categorías diferentes, y este morfismos puede tener diferente origen y de destino en estas categorías. Cuando usted dice que $\hom_{\mathbf A^\text{op}}(A,B)=\hom_\mathbf{A}(B,A)$, se está construyendo una nueva categoría en la que los morfismos son los mismos elementos/morfismos de $\mathbf C$, pero en esta nueva categoría que ver estos morfismos con la dirección inversa.

Si prefiere, usted puede pensar en el frente de la categoría de la categoría $\mathbf C$ como una nueva categoría, tales que para cada uno de los morfismos $f \colon A \to B$ $\mathbf C$ existe un único $f^\text{op} \colon B \to A$ $\mathbf C$ y de tal manera que la composición es tal que $g^\text{op} \circ f^\text{op}=(f \circ g)^\text{op}$, donde la composición de la izquierda es la que está en el frente de la categoría, mientras que el de la derecha es el de la categoría de $\mathbf C$. De esta manera, se ha definido el contrario categoría $\mathbf C^\text{op}$ hasta isomorfismo, así que usted puede pensar de la definición que se dio como un modelo, es decir, una representación concreta, de lo contrario, de categoría.

Espero que esto pueda ayudar.

Answer 2

Creo que MacLane "Categorías para el trabajo matemático", dice mejor que tu libro:

"Para cada categoría $\cal{C}$ también lo asociamos el contrario categoría $\cal{C}^{op}$. Los objetos de $\cal{C}^{op}$ son los objetos de $\cal{C}$, las flechas de $\cal{C}^{op}$ son flechas $f^{op}$ en una correspondencia $f \mapsto f^{op}$ con las flechas $f$$\cal{C}$. Para cada flecha $f: a \longrightarrow b$$\cal{C}$, el dominio y el codominio de la correspondiente flecha $f^{op}$ a $f^{op}: b \longrightarrow a$ (la dirección se invierte). El compuesto $f^{op}g^{op} = (gf)^{op}$ se define en $\cal{C}^{op}$ exactamente cuando el compuesto $gf$ se define en $\cal{C}$.