Ejercicio 1.1.3 en libro de Charles Weibel "Una introducción a la álgebra homológica"

Question

Estoy tratando de enseñar a mí mismo en alguna de álgebra homológica y tengo pegado a la derecha en el comienzo con el Ejercicio 1.1.3 del libro "Una Introducción al Álgebra Homológica" por Charles Weibel.

Ejercicio 1.1.3 (División exacta secuencias de espacios vectoriales) Elegir espacios vectoriales $\{B_n, H_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ más de un campo, y establecer $C_n=B_n\oplus H_n\oplus B_{n-1}$. Muestran que la proyección-inclusiones $C_n\to B_{n-1}\subset C_{n-1}$ $\{C_n\}$ en una cadena compleja, y que cada cadena compleja de espacios vectoriales es isomorfo a un complejo de este formulario.

Mi opinión hasta el momento

La primera parte es sólo una cuestión de comprobar que la proyección-inclusiones $\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}$ satisfacer $\partial_n\circ\partial_{n+1}=0$, lo cual es evidente desde $\partial_n$, básicamente, los siguientes: $(x,y,z)\mapsto(z,0,0)$, por lo que cuando se aplica dos veces al da cero.

La segunda parte es más difícil para mí. Empecé con una cadena compleja de espacios vectoriales $$\cdots\to V_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\to}V_n\stackrel{d_n}{\to}V_{n-1}\to\cdots$$ and looked for a map $$u_n\colon V_n\to \operatorname{im} d_{n+1}\oplus (\ker d_n/\operatorname{im} d_{n+1})\oplus \operatorname{im} d_n$$ as suggested by the notation $\{B_n, H_n\}$ en el texto del ejercicio.

He venido para arriba con sólo una razonable mapa, que se define como sigue. Elegir una base $\mathcal{B}_1$ $\operatorname{im} d_{n+1}$ y extender primero a una base $\mathcal{B}_1\sqcup\mathcal{B}_2$$\ker d_n$, y luego a una base $\mathcal{B}_1\sqcup\mathcal{B}_2\sqcup\mathcal{B}_3$$V_n$. Como resultado, cada vector $v\in V_n$ puede ser el único escrito como $v=v_1\oplus v_2\oplus v_3$ donde $v_i$ es una combinación lineal de los elementos de $\mathcal{B}_i$, $i=1,2,3$. Definir finalmente, $$u_n(v)=v_1\oplus [v_2] \oplus d_n(v_3)$$ donde $[~]$ denota la homología de la clase.

He comprobado y $u_n$ es de hecho un isomorfismo de espacios vectoriales, pero por desgracia no parece que conmuta con las diferencias ya que en general $$(u_{n-1} \circ d_n)(v) = 0 \neq d_n v_3 = (\partial_n\circ u_n)(v)\;.$$

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

En realidad todo lo que escribió es correcto, excepto la última ecuación!

Por qué se dice $(u_{n-1} \circ d_n)(v) = 0$? En realidad, $d_n v$ es un elemento de $C_{n-1}$ que usted necesita para escribir como una suma $v_1' + v_2' + v_3'$ donde $v_1' \in \operatorname{im}d_n$ etc. Pero usted sabe que una suma es único, y ya tienes la descomposición $d_n v = d_n v + 0 + 0$. Por lo tanto,$u_{n-1} d_n v = (d_n v, 0, 0)$.

Por otro lado, $\partial_n u_n v = (d_n v_3, 0, 0)$. Pero por la identificación que permite que usted defina $\partial_n$, es decir,$C_n / \operatorname{ker} d_n = \operatorname{im} d_n$, se deduce que este último elemento es igual a $(d_n v, 0, 0)$. Todo lo comprueba.

PS: tal vez sabes esto, pero el trabajo de más de un campo esencial aquí. Ser capaz de escribir cosas como directa sumas es lo que le permite realizar este truco; sobre un general de anillo este resultado es false.