Un grupo finito que tiene un único subgrupo de orden $d$ para cada $d\mid n$ .

Question

Problema Supongamos que G es un grupo finito de orden $n$ que tiene un único subgrupo de orden $d$ para cada $d\mid n$ . Demostrar que $G$ debe ser un grupo cíclico.

Mi idea: intento demostrarlo por inducción. Sea $p|n$ sea un primo. Entonces, por condición, existe un único subgrupo $H$ de orden $n/p$ . Desde $|gHg^{-1}|=|H|$ Debemos tener $gHg^{-1}=H$ por la parte de singularidad de la condición. Por tanto, H es un subgrupo normal. Ahora, $|G/H|=p$ y por lo tanto $G/H=\langle x\rangle$ donde $x^p \in H$ .

Sin embargo, no puedo continuar.

Mi otra idea es que primero considere el caso cuando $|G|$ es una potencia de algún primo $p$ . Pero, sigue sin funcionar.

Answer 1

Pista: ¿Cuántos elementos de orden $d$ ¿puede haber, como máximo? Dos elementos de orden $d$ tienen que generar el mismo subgrupo.