Encuentre n para que la siguiente converja $\int_1^{+ \infty} \left( \frac{nx^2}{x^3 + 1} - \frac 1 {13x + 1} \right) dx$

Question

Pregunta

Determinar $n$ tal que la siguiente integral impropia es convergente

$$ \int_1^{+ \infty} \left( \frac{nx^2}{x^3 + 1} -\frac{1}{13x + 1} \right) dx $$

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No estoy seguro de cómo hacerlo.

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Trabajando

Esto es convergente si

$$ \lim_{b \to + \infty} \int_1^b \left(\frac{nx^2}{x^3 + 1} - \frac{1}{13x + 1} \right) dx $$

existe.

La integral indefinida es

\begin{equation*} \begin{aligned} \int \left(\frac{nx^2}{x^3 + 1} - \frac{1}{13x + 1} \right)dx & = \int \left(\frac{nx^2}{x^3 + 1} \right) - \int \left(\frac{1}{13x + 1} \right)dx \\ &= \frac{n}{3} \cdot \ln(x^3 + 1) - \frac{1}{13} \cdot \ln(13x + 1) \end{aligned} \end{equation*}

Lo que da

\begin{equation*} \begin{aligned} &\lim_{b \to + \infty} \int_1^b \left(\frac{nx^2}{x^3 + 1} - \frac{1}{13x + 1} \right) dx \\ &= \lim_{b \to + \infty} \left[\frac{n}{3} \cdot \ln(x^3 + 1) - \frac{1}{13} \cdot \ln(13x + 1) \right]_1^b \\ &= \lim_{b \to + \infty} \left(\left[\frac{n}{3} \cdot \ln(b^3 + 1) - \frac{1}{13} \cdot \ln(13b + 1) \right] - \left[\frac{n}{3} \cdot \ln(2) - \frac{1}{13} \cdot \ln(14) \right] \right) \\ &= \lim_{b \to + \infty} \left(\frac{n}{3} \cdot \ln(b^3 + 1) - \frac{1}{13} \cdot \ln(13b + 1) - \frac{n}{3} \cdot \ln(2) + \frac{1}{13} \cdot \ln(14) \right) \\ &= \lim_{b \to + \infty} \left( \frac{n}{3} \left( \ln(b^3 + 1) - \ln(2) \right) - \frac{1}{13} \left( \ln(13b + 1) - \ln(14) \right) \right) \\ &= \lim_{b \to + \infty} \left( \frac{n}{3} \left( \ln \left(\frac{b^3 + 1}{2}\right) \right) - \frac{1}{13} \left( \ln \left(\frac{13b + 1}{14}\right) \right) \right) \end{aligned} \end{equation*}

He intentado utilizar el de L'Hopital desde aquí ya que tengo el formulario $(+ \infty ) - ( + \infty)$ . Pero las cosas fueron bastante mal.

Así que estoy seguro de que hay un enfoque mejor.

Answer 1

Un enfoque más sencillo:

Ya que lo sabemos:

$$\int_1^\infty\frac1{x^a}~\mathrm dx<\infty\iff a>1$$

De ello se deduce que si conocemos

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{nx^2}{x^3+1}-\frac1{13x+1}}{1/x^a}=c\ne0$$

Entonces la integral converge si $a>1$ .

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Para $n=\frac1{13}$ encontramos que utilizando $a=2$ satisface el límite, por lo que converge para $n=\frac1{13}$ .

Para $n\ne\frac1{13}$ encontramos que utilizando $a=1$ satisface el límite, por lo que diverge para $n\ne\frac1{13}$

Answer 2

Tenga en cuenta que tenemos

$$\begin{align} \lim_{b\to \infty}\left(\frac n3\log\left(b^3+1\right)-\frac1{13}\log\left(13b+1\right)\right) &= -\frac1{13}\log(13)\\\\ &+\lim_{b\to \infty}\left(n\log(b)-\frac1{13}\log(b)\right)\\\\ &+\frac n3 \lim_{b\to \infty}\log\left(1+\frac1{b^3}\right)\\\\&-\lim_{b\to \infty}\log\left(1+\frac{1}{13b}\right)\\\\ &=-\frac1{13}\log(13)+\lim_{b\to \infty}\left((n-1/13)\log(b)\right) \end{align}$$

que converge si y sólo si $n=1/13$

Answer 3

Sugerencia: anote $\ln (b^3+1) \sim \ln b^3=3\ln b$ et $\ln (13b+1) \sim \ln 13b=\ln 13+\ln b$ para $b\to+\infty$ .

Por lo tanto: $$\lim_\limits{b\to +\infty} [\frac{n}{3} \ln (b^3+1)-\frac{1}{13}\ln (13b+1)]=\lim_\limits{b\to+\infty} [\left(n-\frac{1}{13}\right) \ln b - \frac{\ln 13}{13}]=\begin{cases} -\frac{\ln 13}{13}, \ if \ n=\frac{1}{13} \\ -\infty, \ if \ n<\frac{1}{13} \\ +\infty, \ if \ n>\frac{1}{13}\end{cases}.$$

Answer 4

$\int_1^{+ \infty} \left( \frac{nx^2}{x^3 + 1} -\frac{1}{13x + 1} \right) dx $

$\frac{nx^2}{x^3 + 1} -\frac{1}{13x + 1} =\frac{nx^2(13x+1)-(x^3 + 1)}{(x^3 + 1)(13x + 1)} =\frac{x^3(13n-1)+nx^2-1}{(x^3 + 1)(13x + 1)} $ .

Si $13n-1 \ne 0$ , esto se comporta como $\frac1{x}$ y la integral diverge.

Por lo tanto, la única $n$ para la cual la integral puede converger es $n =\frac1{13}$ . Para ello $n$ , el integrando se comporta como $\frac1{x^2}$ y la integral de esta sí converge.