Transformada de Fourier

Question

Posibles Duplicados:
El cálculo de la transformada de Fourier de $\frac{\sinh(kx)}{\sinh(x)}$

Estoy tratando de calcular la integral de

$$I = \int_{-\infty}^\infty \frac{\sinh(kx)}{\sinh(x)}e^{-i\omega x} \ dx$$

para $0 < k < 1$ sobre el contorno de la mitad de círculo en la parte superior del plano.

Sé que tengo los residuos de la $x= i\pi n, n\in \mathbb N $. La segunda parte del contorno donde $$ x= R~e^{it} , t\in[0,\pi]$$ llega a 0, así que me quedaría con

$$I = \lim_{R\rightarrow \infty} \int_{-R}^{R} \frac{\sinh(kt)}{\sinh(t)}e^{-i\omega t}dt = \lim_{R\rightarrow \infty} 2\pi i \sum_{\mid z \mid=R}Res_{z}\left( \frac{\sinh(kt)}{\sinh(t)}e^{-i\omega t}\right)$$

Mi problema ahora es, sin embargo, que pensé que no se me permite utilizar el método de los residuos, porque tengo una cantidad infinita de ellos?

Answer 1

$$I = \int_{-\infty}^{\infty} dx \: \frac{\sinh(kx)}{\sinh(x)}e^{-i\omega x} $$

Un semicírculo en el plano medio inferior $\omega > 0$ o en el medio-plano superior $\omega < 0$ y usando el teorema del residuo:

$$ = i 2 \pi (-i) \sum_{n=1}^{\infty} \sin{k \pi n} \exp{(-\omega \pi n)} $$

que es:

$$ = 2 \pi \Im{\frac{1}{\exp{[\pi (w - i k)]} - 1}}$$

o

$$ = \pi \frac{\sin{k \pi}}{\cos{k \pi} + \cosh{\omega \pi}} $$