¿Cuál es el resultado de un número mayor que 2 elevado a la potencia de {Aleph-0}?

Question

¿Por lo tanto, saber que $2^{\aleph_0} = \beth_1$, derecho? ¿Qué otro número, decir $10$, elevado a la potencia de $\aleph_0$? ¿$10^{\aleph_0} = \beth_1$ También es cierto, o es de alguna manera $10^{\aleph_0} > \beth_1$?

Answer 1

Tenemos $2^{\aleph_0} \leq 3^{\aleph_0} \leq 4^{\aleph_0} \leq \dots \leq \aleph_0^{\aleph_0}$, debido a las inclusiones $\{0, 1\}^\Bbb N \subset \{0,1,2\}^\Bbb N \subset \dots \subset \Bbb N^\Bbb N$. Así que si podemos demostrar que $\aleph_0^{\aleph_0} \leq 2^{\aleph_0}$, entonces podemos ver que todos estos cardinalidades de hecho son iguales.

Para mostrar esto, necesitamos encontrar algunos de inyección de $f: \Bbb N^{\Bbb N} \to \{0, 1\}^\Bbb N$. Hay muchas maneras de hacer esto; mi favorito es el siguiente. Deje $a = (a_n)$ ser alguna secuencia de números naturales. A continuación, definimos $f(a)$ a ser la secuencia consiste de los primeros a$a_0$, seguido por un cero,$a_1$, seguido por un cero,$a_2$, seguido por un cero, y así sucesivamente. Esto le da una secuencia de ceros y unos, y si $b = (b_n)$ es otra secuencia de números naturales, entonces $f(a) = f(b)$ si y sólo si $a_n =b_n$ para todos los índices de $n$ si y sólo si $a = b$. Por lo $f$ es de hecho inyectiva, y por lo tanto $\aleph_0^{\aleph_0} \leq 2^{\aleph_0}$.

Así que, de hecho,$2^{\aleph_0} = 3^{\aleph_0} = \dots = \aleph_0^{\aleph_0}$.

Answer 2

Cualquier % cardenal $\kappa \leq \aleph_{0}$, es decir, los finitos y $\aleph_{0}$, da $\kappa^{\aleph_{0}} = 2^{\aleph_{0}}$. Cualquier cardinal mayor que $\aleph_{0}$ permanece constante cuando exponenciales