Si $x^3 - 5x^2+ x=0$ entonces encontrar el valor de $\sqrt {x} + \dfrac {1}{\sqrt {x}}$

Question

Si $x^3 - 5x^2+ x=0$ entonces encontrar el valor de $\sqrt {x} + \dfrac {1}{\sqrt {x}}$

Mi intento: $$x^3 - 5x^2 + x=0$ $ % $ de $$x(x^2 - 5x + 1)=0$, $x=0$

Y $$x^2-5x+1=0$ $??

Answer 1

\begin{align*} x^3+x&=5x^2\\ x+\frac{1}{x}&=5\\ \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2&=7\\ \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)&=\sqrt{7}. \end{align*}

Answer 2

da de $x^3-5x^2+x$ $x=0$ o $x^2+1=5x$.

$x\leq0$ No existe el valor necesario.

$x>0$ Tenemos $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}>0$.

Así, $$x+\frac{1}{x}=5$ $ o $ de $$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=7,$ $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt7.$ que

Answer 3

Si $y=\sqrt x + 1/\sqrt x$ entonces su valor de $y$ se da como una solución de $y$ para el sistema\begin{align} x^2&-5x+1=0\\ t^2&=x\\ t^2&=ty-1\\ \end{align} poner la segunda y tercera ecuación junto $x=ty-1$ % que $$(ty-1)^2-5(ty-1)+1=t^2y^2-2ty+1-5ty+5+1=(ty-1)y^2-7(ty-1)=0$$ si $ty-1\neq 0$ y $y^2=7$.

Answer 4

Para más brut ish fuerza alternativa, tenga en cuenta que el problema se supone $x \ne 0$ $\sqrt {x} + 1 / \sqrt {x}$ a ser definido, por lo que el $x$ debe ser una raíz de $x^2-5x+1=0 \iff x = \frac{1}{2}\left(5 \pm \sqrt{21}\right)\,$.

Por conocidos radical almacenaje técnicas, $\sqrt{5 \pm \sqrt{21}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{14} \pm \sqrt{6}\right)\,$, así:

$$\requieren{cancel} \sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{2}}\left(\sqrt{14} \pm \sqrt{6}\right) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{7}\pm\sqrt{3}\right) \;\;\implica\;\; \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{7} \mp \sqrt{3}\right) $$

A continuación,$\displaystyle x + \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{7}\pm\cancel{\sqrt{3}}\right) + \frac{1}{2}\left(\sqrt{7} \mp \cancel{\sqrt{3}}\right)=2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{7} = \sqrt{7}$.

Answer 5

$$\sqrt{x}+\frac 1{\sqrt{x}} = \frac{(x+1)}{\sqrt{x}}$$

$$\left(\frac{x+1}{\sqrt{x}}\right)^2 = \frac{(x^2+2x+1)}x = \frac{(x^2-5x+1)+7x}x = 7x/x = 7$$($x$ is not equal to $0$)

Por lo tanto, $$\sqrt{x}+\frac 1{\sqrt{x}} = \sqrt{7}$ $