convergencia uniforme de las series de funciones

Question

Me gustaría que me ayudaran a comprender la idea de convergencia uniforme de una serie de funciones.

Sé que si $\lim_{n\rightarrow\infty}\sup|f_n(x)-f(x)| = 0$ que la serie $ {f_n(x)}$ converge uniformemente, donde $f(x)$ es la función límite.

Si observamos la función $x^n$ cuando $0\le x\le1$ que:

$f(x)$ es $0$ cuando $0\le x\lt1$ y $1$ cuando $x=1$

por un lado, la función $f(x)$ no es continua por lo que creo que es seguro asumir que la serie de funciones no es de convergencia uniforme. ¿es suficiente para responder a la pregunta?

Por otro lado, cuando he intentado utilizar la notación anterior, he obtenido un resultado diferente si miro las dos situaciones por separado.

cuando $0\le x\lt1$ que $\lim_{n\rightarrow\infty}\sup|f_n(x)-f(x)| =0$

cuando $x=1$ que $\lim_{n\rightarrow\infty}\sup|f_n(1)-f(1)| =0$

¿cómo utilizar la notación anterior para esa pregunta?

Answer 1

Los comentarios de Uniquesolution responden a la pregunta, pero con la esperanza de que una imagen ayude:

Tienes razón en que si una secuencia $(f_{n})$ de funciones continuas converge a un límite discontinuo $f$ la convergencia no es uniforme.

Nótese cuidadosamente, sin embargo, que la discontinuidad del límite no es necesaria; una secuencia de funciones continuas puede converger de forma no uniforme a un límite continuo. Por ejemplo:

• Si $f_{n}(x) = x^{n}$ para $0 \leq x < 1$ entonces $(f_{n}) \to 0$ puntualmente, pero la convergencia no es uniforme. (Como indica el bucle de animación, si $0 < a < 1$ es fija, la convergencia es uniforme en $[0, a]$ .)

• Si $f_{n}(x) = x/n$ para $0 \leq x$ entonces $(f_{n}) \to 0$ pero la convergencia no es uniforme.

(Te dejo la diversión de encontrar una secuencia de funciones continuas $(f_{n})$ que convergen puntualmente a la función continua $0$ en el conjunto compacto $[0, 1]$ pero la convergencia no es uniforme).

Answer 2

La tercera línea desde abajo es falsa.

$$\sup_{[0,1)}|x^n|=1$$