Encuentre todas las funciones definidas en el espacio

Question

$f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^{\ast}$ es tal que para cualquier tetraedro no degenerado $ABCD$ con $O$ el centro de la esfera inscrita, tenemos : $$f(O)=f(A)f(B)f(C)f(D) $$ Demostrar que $f(X)=1$ para todos los puntos $X$ . Aquí $\mathbb{R}^{\ast}=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ .

¿Cómo podría alguien probar esto? He visto el problema

Si una función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ satisface $$\sum_{A\in \mathcal{P}}f(A)=0$$ donde $\mathcal{P}$ es un regular $n$ -gon entonces $f(X)=0$ para todos $X$ .

Pero no tengo ni idea de ello. Me han dicho que es de una olimpiada pero no sé cuál. ¿Alguien podría ayudarme? He intentado imitar la solución del segundo problema pero no ha servido de mucho. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $ABCD$ sea algún tetraedro con incentro $O$ y que $E$ sea el incentro del tetraedro $OBCD$ .

Dibuja un pequeño esfera alrededor de $O$ y seleccione $B'C'D'$ tal que esta esfera se inscribe en $AB'C'D'$ . Esto es siempre posible, seleccionando tres planos tangentes a través de $A$ que encierran la esfera, y los intersectan con un plano tangente detrás de la esfera. Sea $E'$ sea el incentro de $OB'C'D'$ . Está claro que se pueden elegir cosas tales que $E\ne E'$ por ejemplo, haciendo que la pequeña esfera sea lo suficientemente pequeña como para que $E$ está fuera $OB'C'D'$ .

Ahora, por supuesto, tenemos $$ f(O)=f(A)f(B)f(C)f(D) \qquad f(O)f(B)f(C)f(D)=f(E) $$ y multiplicando estas ecuaciones y cancelando los factores comunes (ya que por suposición $f(X)\ne 0$ ) obtenemos $$ f(O)^2 = f(A)f(E) $$ De la misma manera, $$ f(O)^2 = f(A)f(E') $$ Por lo tanto, se cancela de nuevo, $f(E)=f(E')$ .

Sin embargo, mediante transformaciones de similitud apropiadas, podemos poner toda la configuración tal que $E$ y $E'$ son en cualquier lugar que nos plazca y este cálculo sigue mostrando que $f(E)=f(E')$ .

Así que $f$ debe ser una función constante.

La ecuación $f(O)=f(A)f(B)f(C)f(D)$ implica que el valor común de $f(X)$ debe ser una raíz cúbica de $1$ y como los valores de $f$ se especifica que son reales, $f(X)=1$ es la única solución.

Si se permite que los valores sean complejos, obtenemos dos soluciones adicionales con $f(X)=e^{\pm 2\pi/3 i}$ .

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El problema especificaba que $f(X)\ne 0$ en todas partes, pero relajar esto nos da sólo una solución adicional, la función constante $f(X)=0$ . I tout punto $A$ con $f(A)=0$ , entonces para un $O\ne A$ podemos encontrar $B'C'D'$ como en el caso anterior, de manera que $O$ es el incentro de $AB'C'D'$ . Entonces $f(O)=f(A)\times\cdots=0$ también.