¿Si está más cerca de $h$de % que $f$ $g$, su integral en $\{f > g\}$ debe "de acuerdo" con $f$ ' s?

Question

Tengo la siguiente pregunta (un resultado que me gustaría probar, con un récord admirable de fracasar en él hasta el momento) -- en realidad yo no sé si es evidente o simplemente malo.

Deje $f,g,h\colon [0,1]\to\mathbb{R}_+$ 3 (integrables) funciones que $\int_{[0,1]}f=\int_{[0,1]}g=\int_{[0,1]}h=1$; set $$A_{fg}\stackrel{\rm def}{=}\left\{x\in[0,1]\mid f(x) > g(x)\right\}$$ y escribir $\omega_f=\int_{A_{fg}} f$, $\omega_g=\int_{A_{fg}} g$, $\omega_h=\int_{A_{fg}} h$.

Supongamos $\int_{[0,1]} \lvert g - h\rvert \geq \int_{[0,1]} \lvert f - h\rvert + \gamma$, para algunas constantes $\gamma > 0$. Podemos probar un cuantitativa obligado en $\omega_h$, es decir que se debe estar "más cerca de las $\omega_f$$\omega_g$?".

Tengo la esperanza de que una declaración de esta forma se tiene:

Existe una absoluta constante $c>0$ (por ejemplo, $1/10$) tal que $\omega_h > \frac{\omega_f+\omega_g}{2}+c\cdot\gamma$.

Suena "intuitiva" para mí, sin embargo, he aprendido a no dar demasiado crédito a mi intuición. Sobre todo porque he estado luchando con esto por un día ahora, y unas pocas hojas de papel: yo sé cómo demostrarlo con el supuesto de que $\int_{[0,1]} \lvert f - h\rvert \leq \frac{\gamma}{10}$, pero esto no es suficiente para mi propósito...

Pequeña nota: se puede suponer sin pérdida de generalidad $f,g,h$ "regular suficiente" (continuo, por ejemplo).

Gracias,

-- Clément

Answer 1

Esto no va a funcionar. Para las pequeñas $\delta>0$, vamos a definir $f(x)=1$, $$ g(x) = \begin{cases} 0 & 0<x<1/2 \\ 1 & 1/2 < x < 1-\delta \\ \frac{1+2\delta}{2\delta} & 1-\delta<x< 1 \end{casos} , \quad h(x) = \begin{cases} \frac{1+\delta}{2\delta} & 1/2< x < 1/2 + \delta \\ 1/2 & \textrm{otherwise} \end{casos} . $$ A continuación,$A=[0,1/2]$, lo $\omega_h=(1/2)(\omega_f+\omega_g)$ (desde $g=0$, $h=1/2$, $f=1$ en $A$), y tengo un contraejemplo si puedo comprobar que $\|g-h\|_1>\|f-h\|_1$.

Esta claro que podemos hacer por un sencillo cálculo explícito. Sin embargo, también podemos (más conveniente) argumentan de la siguiente manera: Observar que los golpes de $g$, $h$ tiene área de $\approx 1/2$ (se tiene que, para hacer $\int f=\int g=1$). Ahora, lejos de los baches, que es, para la mayoría de los puntos en $[0,1]$,$|f-h|=|g-h|=1/2$. A continuación, observamos que $\int |g-h|$ recoge dos golpes, mientras que sólo el golpe de $h$ contribuye a $\int |f-h|$. Así $\int|f-h|\approx 1$, $\int |g-h|\approx 3/2$, y, en particular, $\int|g-h|>\int |f-h|$, como se desee.