¿Cuál es la relación entre las sumas de Gauss y la distribución normal?

Question

Deje $p$ ser impar el primer y $\left( \frac{a}{p} \right)$ el símbolo de Legendre. La suma de Gauss

$\displaystyle g_p(a) = \sum_{k=0}^{p-1} \left( \frac{k}{p} \right) \zeta^{ak},$

donde $\zeta_p = e^{ \frac{2\pi i}{p} }$, es una función periódica de período de $p$ que a veces se invoca en las pruebas de la reciprocidad cuadrática. Como resulta, $g_p(a) = \left( \frac{a}{p} \right) i^{ \frac{p-1}{2} } \sqrt{p}$, lo $g_p(a)$ es esencialmente un eigenfunction de la transformada de Fourier discreta. Ahora, si $(a, p) = 1$, podemos escribir

$\displaystyle g_p(a) = \sum_{k=0}^{p-1} \zeta^{ak^2}$

así Gauss sumas son algunas de las finito analógica de la distribución normal $e^{-\pi x^2}$, lo que en sí es bien conocido por ser un eigenfunction de la transformada de Fourier en $\mathbb{R}$. Recuerdo que alguien que dice a mí, una vez que los dos están íntimamente relacionados, pero no he sido capaz de localizar una referencia. ¿Alguien sabe lo que precisa de la conexión? Hay una teoría de la auto-dual localmente compacto abelian grupos en algún lugar ahí fuera?

Answer 1

Creo que no hay nada profundo pasando aquí. El análisis de Fourier en finitos abelian grupo es bastante sencillo.

Gauss sumas son los coeficientes de Fourier se obtiene cuando se expanda un aditivo de caracteres $k \rightarrow e^{\frac{2\pi iak}{p}}$ con respecto a la base de la multiplicación de los personajes (es decir, aquellos que dan lugar a los caracteres de Dirichlet cuando nuestro grupo es $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$). Un Gauss suma es la suma del producto de un aditivo y multiplicativo de los personajes y, como tal, puede ser considerado como un grupo finito análogo de la función Gamma. Recordemos que la función Gamma es la integral en $\mathbb{R}^{>0}$ del producto de la $e^{-x}$ (aditivo de caracteres en los reales) y $x^s$ (un carácter multiplicativo en $\mathbb{R}^{>0}$) con respecto a la medida de Haar $\frac{dx}{x}$$\mathbb{R}^{>0}$.

Usted probablemente está pensando en ${\zeta_p}^{ak^2}$ como el finito análogo de la Gaussiana $e^{-\pi x^2}$, pero como te he escrito a ti mismo,

$g_p(a)=\sum_{k=0}^{p-1} {\zeta_p}^{ak^2}$,

un Gauss suma es una suma de las `cosas' que se parecen a la de Gauss y no hay ninguna razón por la que una suma de Gauss en sí debe ser algo así como la de Gauss.