Dado un conjunto de Borel $A \subseteq \mathbb{R}^d, d ≥ 1$ y una función medible $f: A \to [0, \infty)$, quiero considerar el conjunto:
$$E = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{d+1}: x \in A, 0 ≤ y ≤ f(x)\} \subseteq \mathbb{R}^{d+1}$$
En primer lugar quiero mostrar que $E$ es un conjunto de Borel. Entonces, quiero demostrar que la
$$\lambda_{d+1}(E) = \int_A f(x) d \lambda_d(x)$$
donde $\lambda_d$ $d$- dimensional de la medida de Lebesgue.
Yo por desgracia no era exitosa, mostrando que $E$ es un conjunto de Borel hasta ahora. Un principio pensé que se podía escribir $E$ como el producto de dos conjuntos de Borel ($E = A \times \text{another Borel set}$), pero luego me di cuenta de que no es tan simple, viendo como el $y$ en un vector $(x, y) \in E$ es dependiente de $x$. Tal vez se podría construir una inteligente medibles función que se envía a $E$ sobre un conjunto medible en $\mathbb{R}$ o algo así? Yo no soy realmente tan seguro de que aunque.
Una vez establecido que la $E$ es medible, no es la segunda parte siga más o menos a la derecha a partir del teorema de Fubini?
También, creo que la intuición detrás de este excercice es reconocer que, en el caso de $d = 1$, la integral de Lebesgue de $f$ $A$ no es nada, pero el área entre la gráfica de $f$ e las $x$-eje; por $d = 2$, es el volumen, y así sucesivamente. No estoy realmente seguro de lo que me ayuda (formalmente) que muestra de ello.
