¿Existe un mapa armónico suave$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ tal que:
- $\det(df)$ Es constante.
- $f$ No es afín.
¿Existe tal mapa con$\det(df) \neq 0$?
($f$ Es armónico si cada uno de sus dos componentes es una función armónica).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lukas Geyer
Puntos
9607
No es que no afín armónico de auto-mapa del avión con constante determinante Jacobiano, y esta es una buena prueba mediante el análisis complejo. Suponer que existe una función, y sin pérdida de generalidad supongamos que $\det (df) = 1$. Cada armónico de la función en el plano es la suma de un holomorphic y un anti-holomorphic función, por lo que existen totalidad de las funciones de $g$ $h$ $f = g + \bar{h}$ (donde la barra indica compleja conjugación.) El uso de Wirtinger derivados (sólo para la conveniencia notacional), llegamos a la $$ 1 = \det (df) = \left| \frac{\partial f}{\partial z} \right|^2 - \left| \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \right|^2 = |g'|^2 - |h'|^2, $$ así $$ |g'|^2 = |h'|^2 + 1 \ge 1. $$ Esto demuestra que $1/g'$ es un almacén de toda la función, de modo que por el teorema de Liouville es constante, como es $g'$. Esto implica inmediatamente que $|h'|$ e lo $h'$ también es constante, por lo $g$ $h$ son afines, lo que implica que $f$ es afín, demasiado.
EDIT: realmente se puede evitar el uso de Liouville del teorema a demostrar que esto es realmente un local de resultado. Escrito $G = (g')^2$$H = (h')^2$, la ecuación anterior es $|G| = |H|+1$. En todos los puntos donde $H$ no se desvanecen, tanto en $|G|$ $|H|$ son suaves con $|G'|=\|\nabla |G|\|=\| \nabla |H| \| = |H'|$. Esto demuestra que $G' = \lambda H'$ con algunas constantes $|\lambda|=1$, lo $G = \lambda H + \mu$ con otra constante $\mu$. Desde $|G| \ne |H|$, también conseguimos $\mu \ne 0$. Ya que la imagen de cualquier círculo concéntrico bajo el mapa de $r \mapsto \lambda r + \mu$ cruza cualquier otro círculo concéntrico en la mayoría de los dos puntos, el mapa de $H$ debe ser constante, de nuevo dando de que $f$ es afín. (Esto es un poco de ejercicio en el análisis complejo, de una manera más elemental, pero un poco menos elegante que el argumento sobre el uso de Liouville.)
