Permítanme empezar por mencionar que el tipo de cosas que usted está tratando de entender son los folclore en el peor de los sentidos. No me puedo resistir citando a R. W. Thomason (en un contexto completamente diferente, pero igualmente aplicables aquí): "la Mayoría de estos hechos son bien conocidos en el esquema, aunque muchas personas presentan cierta confusión y falta de claridad en los detalles cuando se pulsa."
Algunas buenas referencias:
El apéndice B y el Capítulo 2 de la R. J. Zimmer, Ergodic theory y semisimple grupos, Birkhäuser 1984. MR776417
David Fisher, Dave Witte Morris, y Kevin Whyte, Nonergodic acciones, cocycles y superrigidity, Nueva York Diario de Matemáticas, Volumen 10 (2004) 249-269, MR2114789 y las referencias allí contenidas.
Para una excelente introducción al mínimo en el descriptivo de la teoría de conjuntos y la selección de teoremas, recomiendo el Capítulo III de Arveson, Una invitación a $C^{\ast}$-álgebras, Springer GTM 39, 1979, MR512360.
Por lejos la mejor introducción a la descriptiva, la teoría de conjuntos y el círculo de las ideas que usted está considerando es A. S. Kechris, Clásica descriptivo de la teoría de conjuntos, Springer GTM 156, 1995. MR1321597.
Capítulo V de Varadarajan el libro de La geometría de la teoría cuántica, segunda edición, Springer 1969, MR805158. En particular, el Mackey-Weil teorema queda demostrado en la sección 6 de este capítulo.
Si usted puede manejar para leer Mackey textos originales, que sin duda sólo fines de lucro, pero me la encontré en la muy indigesto lado si usted perdone mi contundente evaluación.
Edit: (en la visión de la Marca de comentario de abajo) Si su objetivo final es aprender acerca de la "Mackey máquina" y la inducida por las representaciones, puedes seguir a la Marca de la recomendación y mirar Folland del Análisis Armónico Abstracto,
Estudios en Matemáticas Avanzadas. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. MR1397028.
Otro buen texto sobre ese tema es Barut–Rączka, la Teoría de grupo de representaciones y aplicaciones. Segunda edición. World Scientific Publishing Co., Singapur, 1986. MR0889252.
Por lo tanto, vamos a mirar las matemáticas, por último:
Me gustaría probar una declaración más fuerte que el que te pregunte acerca de:
Deje $G$ ser un estándar de Borel grupo y que $X$ ser un estándar de Borel espacio equipado con un Borel $G$-acción y una cuasi-invariante probabilidad de medida $\mu$. Hay un Borel medible mapa de $\rho: G \times X \to [0,\infty)$ tal que $$\int_{X} \rho(g,x)f(x)\,d\mu(x) = \int_{X} f(gx)\,d\mu(x)$$
para todos los $g \in G$ y todos los $f \in L^1(X,\mu)$.
Usted encontrará esta declaración y algunas aplicaciones como Lema 1.1.1 del Anexo D en la página 84 de mi tesis (donde está formulado para $G$ polaco, pero que no se usa aquí). Se extrae de Fisher–Witte Morris–Whyte, la Proposición de 2.22.
Primero de todo, recordar que el espacio de $\mathscr{F}(X)$ $\mu$- clases de equivalencia de Borel medible de las funciones de $X \to [0,\infty)$ es el polaco con respecto a la topología de la convergencia en medida. De hecho, la métrica $$d_{\mathscr{F}}(f,g) = \min{\{\varepsilon \geq 0\,:\,\mu(\{|f(s) - g(s)| \gt \varepsilon\})\leq \varepsilon\}}$$
es particularmente conveniente.
La traducción de Fisher–Witte Morris–Whyte del Lema 2.7 en nuestra situación, se obtiene:
Lema. Dado un Borel medible función de $f: G \to \mathscr{F}(X)$ existe un Borel medible función de $\varphi: G \times X \to [0,\infty)$ tal que para todos los $g \in G$ hemos
$$\varphi(g,x) = f(g)(x) \quad \text{ for almost every } x \in X.$$
Tenga en cuenta que su implica la ley exponencial $\mathscr{F}(G \times X) = \mathscr{F}(G,\mathscr{F}(X))$.
La prueba del lema es relativamente simple: la partición de $\mathscr{F}(X)$ en countably muchos distintos conjuntos de Borel $\{D_{i}^{(n)}\}_{i=1}^{\infty}$ del diámetro de la $2^{-n}$, para cada una de las $i$ pick $\varphi^{(n)}_i \in D_{i}^{(n)}$ y poner $\varphi^{(n)}(g,x) = \varphi^{(n)}_i(x)$ si $f(g) \in D_{i}^{(n)}$. Entonces es fácil ver que fija $g$ la función de $\varphi^{(n)}(g, \cdot)$ es Borel y converge a.e. para un límite de $\varphi(g,\cdot)$. Para más detalles, ver loc. cit.
Dado esto, queda por demostrar que el mapa de $r: G \to \mathscr{F}(X)$ $g \mapsto \frac{d(g\mu)}{d\mu}$ es Borel medible. Para ver esto, elegir una contables de la separación y la generación de set $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ $\Sigma$ y el aviso de que
$$
\mathscr{R} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{(g,f) \G \times \mathscr{F}(X)\,:\,\mu(gA_n) = \int_{A_n} f(x)\,d\mu(x)\right\}
$$
es la gráfica de $r$ debido a que la fibra de $\mathscr{R}$ $g$ es el Radon-Nikodym derivado $\frac{d(g\mu)}{d\mu}$ de la Borel automorphism $x \mapsto gx$$(X,\Sigma)$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $\mathscr{R}$ es Borel por el Borel teorema de la gráfica (por ejemplo, Kechris, Teorema 14.12 en la página 88). Estamos tan pronto como nos muestran que la $g\mapsto\mu(gA_n)$ $f \mapsto \int_{A_n} f\,d\mu$ son Borel en $G$$\mathscr{F}$, respectivamente. Para el último de este mapa es una aplicación de la monotonía teorema de convergencia, ver Fisher–Witte Morris–Whyte, Lema 2.17, y para el ex escribimos $gA_n \subset G \times X$ $\psi(\{g\} \times A_n) \cap (\operatorname{pr}_G)^{-1}(\{g\})$ donde $\psi: G \times X \to G \times X$ es el Borel automorphism $\psi(g,x) = (g,gx)$, por lo que los mapas de Borel de los conjuntos de Borel de conjuntos y la mensurabilidad de $g \mapsto \mu(gA_n)$ ahora de la siguiente manera por ejemplo de Kechris del teorema de 17.25 en la página 113.
