Euler y el infinito

Question

¿Qué hace la gente quiere decir cuando se dice que Euler tratados infinito de manera diferente? He leído en varios libros que, hoy en día, los matemáticos no aprobar de Euler los métodos y sus pruebas carecían de rigor. Cualquiera puede elaborar?

Editar: Si recuerdo correctamente Euler original de la solución a los convenios de Basilea problema es el siguiente.

Utilizando la serie de Taylor para $\sin (s)/s$ escribimos $$\sin (s)/s = 1 - {s^2}/3! + {s^4}/5! - \cdots $$ pero $\sin (s)/s$ se desvanece en $\pm \pi$, $\pm 2\pi$, etc. por lo tanto $$\frac{{\sin s}}{s} = {\left( {1 - \frac{s}{\pi }} \right)}{\left( {1 + \frac{s}{\pi }} \right)}{\left( {1 - \frac{s}{{2\pi }}} \right)}{\left( {1 + \frac{s}{{2\pi }}} \right)}{\left( {1 - \frac{s}{{3\pi }}} \right)}{\left( {1 + \frac{s}{{3\pi }}} \right)} \cdots$$ o $$\frac{{\sin s}}{s} = {\left( {1 - \frac{{{s^2}}}{{{1^2}\pi^2}}} \right)}{\left( {1 - \frac{{{s^2}}}{{{2^2}{\pi ^2}}}} \right)}{\left( {1 - \frac{{{s^2}}}{{{3^2}{\pi ^2}}}} \right)} \cdots$$ que es $$\frac{{\sin s}}{s} = 1 - \frac{{{s^2}}}{{{\pi ^2}}}{\left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots } \right)} + \cdots.$$ Igualando los coeficientes de los rendimientos $$\zeta (2) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}.$$

Pero $\pm \pi$, $\pm 2\pi$, etc. también están las raíces de ${e^s}\sin (s)/s$, correcto? Así igualando los coeficientes de no dar ${\pi ^2}/6$.

Answer 1

Básicamente se quiere decir que muchos de sus argumentos que involucran, por ejemplo, infinidad de productos y sumas no el rigor de los estándares modernos. A veces, por ejemplo, manipuló ellos en formas que tengan sentido para finito de productos y sumas de dinero, pero que ahora sabemos que no siempre tiene sentido para el infinito y productos de sumas. Afortunadamente, fue un muy buen matemático y tenía un excelente sentido de que cuando estas manipulaciones realmente funciona.

En particular, el de Euler, es anterior a la rigurosa nociones de convergencia, por lo que sus pruebas ignorar la convergencia. Un ejemplo puede verse en este boceto de su prueba de la fórmula del producto para la función zeta: simplemente se lleva a cabo el infinito manipulaciones, pero por los modernos estándares de rigor que requieren algún tipo de justificación.

Answer 2

Hay otra manera de Euler "carecían de rigor" en la actualidad los términos.

Él utilizó la idea de que "algo infinitamente pequeño" en su Introducción en analysin infinitorum (capítulo 7, §115). Él sólo dio este sentido a una variable que identifica el término con su límite. Así que él habría dicho que "$\frac{1}{\delta}=0$ $\delta$ infinitamente pequeño". (Esto es algo que la gente utiliza para hacer de hoy en día - al menos cuando no son matemáticos.)

Claramente Euler no tienen las nociones de matemáticas de Cauchy, Weierstrass y así sucesivamente. Así que es un tipo de significar al decir que carecían de rigor. (Por cierto, recomiendo la lectura (o, al menos, de navegación) la Introducción de una vez - es muy interesante ver cómo se desarrolla todas estas igualdades entre trigonomic, racionales y exponenciales funciones.)

Answer 3

Euler trabajó antes cálculo se colocó en el rigor de las fundaciones por Cauchy, Riemann y Weierstrass. Uno de sus favoritos de las técnicas era aprovechar las analogías entre polinomios y de alimentación de la serie, la visualización de poder, como la serie de polinomios de grado infinito. Su gran intuición le permitió evitar escollos, a menudo la obtención de resultados que podría ser más tarde traducido a pruebas rigurosas. A continuación es un ejemplo prototípico, extraído de historiador Judith V. Grabiner la Que Te Dio la Epsilon? Cauchy y los Orígenes de Riguroso Cálculo.

Answer 4

Para responder a su pregunta acerca de Euler tratamiento de infinito, tenga en cuenta que el de Euler, de hecho "el tratamiento de la infinidad de una forma diferente" de la manera en que se ve hoy en día. Nuestro marco conceptual hoy en día está dominado por el trabajo de Cantor, Dedekind y Weierstrass, que buscó eliminar infinitesimals y reemplazarlos por epsilon, delta procedimientos en el contexto de Arquímedes continuo desprovisto de infinitesimals. Euler, en el otro lado, trabajó con infinitesimals en abundancia, y utiliza números infinitos libremente. Así se veía a una serie infinita como un polinomio de orden infinito. En la terminología del historiador Detlef Laugwitz, sus argumentos que figuran algunos de los "ocultos lemas" que requieren una justificación adicional, que puede ser, de hecho, suministrada a la luz de las modernas teorías.

Aparte de eso, Euler técnicas y de procedimiento se mueve están estrechamente reflejado por los principios y técnicas desarrolladas en el contexto de una verdadera extensión de $\mathbb{R}\subset{}^{\ast}\mathbb{R}$, y su "infinita de números" admitir de poderes en el hyperreal enfoque, a saber, hyperreal enteros en $^\ast\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$. Por lo tanto, una serie infinita se aproxima (hasta infinitesimal de error) por un polinomio de infinito hyperfinite grado. Estos pueden ser manipulados comunes, como los polinomios por la transferencia de principio.

Euler, obviamente, no tienen la semántica fundamental marcos desarrollado a partir de 1870 en adelante como ZFC, pero su sintácticas de procedimientos con éxito y fielmente reflejado en el hyperreal enfoque. Los historiadores de la crítica de Euler técnicas son generalmente ignorantes de la verdadera técnicas y por lo tanto hostil hacia ellos.

Una serie de artículos en la literatura con éxito interpretar de Euler procedimientos en términos de la moderna infinitesimals (con el sintáctico/semántico de la condición que se indica más arriba), incluyendo el trabajo de Kanovei, Laugwitz, McKinzie, Tuckey, y otros.

Tenga en cuenta que Euler no saltar de la igualdad de ceros a la igualdad de sine hasta el infinito producto. Él dio un elaborado, y esencialmente correcto, el argumento en favor de la igualdad. Más específicamente, Euler proporciona una elaborada 7-paso argumento en favor de la descomposición. De hecho, su argumento puede ser formalizada, paso-por-riguroso-el paso, en el marco de las teorías modernas, como se discute en este artículo reciente.