Es verdad ?
Esto se preguntó durante un examen oral donde se prohíben calc y CAS.
Mathematica parece decir que es verdad.
¿Puede alguien encontrar una buena prueba?
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Permitir$\alpha =\dfrac {56}2, \beta=\dfrac 1 2\sqrt{\dfrac{84640}{27}}$ y$\gamma =\root 3\of {\alpha -\beta}+\root 3\of {\alpha +\beta}$.
Se supone que todos los números tomados son reales.
Ahora tenga en cuenta que $$ \begin{align} \gamma ^3&=\left(\root 3\of {\alpha -\beta}\right)^3+3\root 3\of {\alpha -\beta}^2\root 3\of {\alpha +\beta}+3\root 3\of {\alpha -\beta}\root 3\of {\alpha +\beta}^2+\left(\root 3\of {\alpha +\beta}\right)^3\\ &=\alpha -\beta +3\root 3\of {\alpha -\beta}\root 3\of {\alpha +\beta}\Bigl(\underbrace{\root 3\of {\alpha -\beta}+\root 3\of {\alpha +\beta}}_{\huge =\gamma}\Bigr)+\alpha +\beta\\ &=2\alpha+3\root 3\of {\alpha ^2-\beta ^2}\gamma. \end {align} $$
Como$\alpha ^2=784$ y$\beta ^2=\dfrac{21160}{27}$ sigue que$\alpha ^2-\beta ^2=\dfrac{21168}{27}-\dfrac{21160}{27}=\dfrac 8{27}$.
Así,$\root 3\of {\alpha ^2+\beta ^2}=\dfrac 2 3$.
Se concluye que$\gamma$ es tal que$\gamma^3=56+2\gamma$, por lo tanto$\gamma$ es una (la única) raíz real de$x^3-2x-56$.
Rene Schipperus
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¿Cuáles son estos chicos sádicos ? ¿Cómo se supone que la respuesta esta en un examen oral ? De todos modos, aquí hay otra solución, somos conscientes de la expresión como forma de Cardano la solución a la cúbico $x^3+px+q=0$ $$\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{-\frac{27}{2}q + \frac{3\sqrt {3D}}{2}}+ \sqrt[3]{-\frac{27}{2}q - \frac{3\sqrt {3D}}{2}} \right)$$ where $D=-27q^2-4p^3$ si multiplicamos la $\frac{1}{3}$ a través de la que hemos $$ \sqrt[3]{\frac{1}{2}(-q + \sqrt{ \frac {3D}{27} })}+ \sqrt[3]{\frac{1}{2}(q - \sqrt{\frac {D}{27}}} )$$ Así reconocemos inmediatamente que $q=-56$$-D=84640$, por lo que $$27q^2+4p^3=84640$$ and this gives $p=-2$ Así que el cúbicos en cuestión es $x^3-2x-56$ a que la raíz de $4$.
Farhan Anam
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