Dado cualquier campo automorphism de $\mathbb C$, los números racionales son fijos. De hecho, cualquier número que es explícitamente definibles en $\mathbb C$ (en el primer fin de lenguaje de campos) es fija. (En realidad, esto significa que sólo podemos garantizar que los racionales son fijos, puedo ampliar sobre esto más adelante.)
Cualquier construcción de un salvaje automorphism utiliza el axioma de elección. Ver aquí para una relacionada con el problema abierto. De hecho, hay un modelo de la teoría de conjuntos consideró por primera vez Solovay (en este modelo el axioma de elección falla, pero el modelo satisface el axioma de "dependiente de la elección", lo cual es suficiente para el análisis clásico) donde todos los conjuntos de reales son Lebesgue medibles y tienen la propiedad de Baire, y no la única automorfismos son la identidad y el complejo de la conjugación.
Salvaje automorfismos son de hecho muy lejos de continuo. Desde la elección se utiliza de forma explícita en su construcción, no estoy seguro de que hay una manera fácil de "imaginar", aunque el ejemplo que se describe a continuación es, en principio, no demasiado elaborado, dadas estas advertencias.
La primera construcción explícita en la impresión parece estar en un papel por Kestelman,
H. Kestelman. Automorfismos del campo de los números complejos, Actas de la Sociedad Matemática de Londres (2), 53, (1951), 1-12.
Su papel, sin embargo las huellas de la primera prueba como "implícitamente" dada por Steinitz, el uso de un transcencence, llame a es $T$ $\mathbb C$ (llamado $Z$ en el papel) $\mathbb Q$ (llamado $R$ en el papel), por lo $\mathbb C$ es algebraico sobre $\mathbb Q(T)$. (Tenga en cuenta que esto es donde la elección se utiliza, en la verificación de la existencia de $T$ a través de, por ejemplo, el lema de Zorn.)
El punto es que dicha base contiene dos puntos de $x_0, x_1$$x_0\notin\{x_1,\bar x_1\}$. Entonces, uno puede considerar cualquier permutación $\pi$ $T$ asignación de $x_0$$x_1$, y no hay una única extensión de $\pi$ a un campo automorphism de $\mathbb Q(T)$, que luego pueden ser elevados a un automorphism de $\mathbb C$. Páginas 4, 5 en el vinculado papel da algunos detalles más. El esquema en sí fue señalado por Rado.
Una vez hecho esto, el artículo se discute cómo muy débil regularidad condiciones en un automorphism (continuidad en un punto, por ejemplo), trivializarlo.
Permítanme concluir con algunas observaciones. En particular, quiero ampliar la observación en puntos fijos en el primer párrafo.
El argumento anterior nos indica que podemos producir un automorphism iniciando con una permutación de $T$, lo que da lugar a una automorphism de $\mathbb Q(T)$, y, a continuación, levante esta a un automorphism de $\mathbb C$. Tenga en cuenta que diferentes permutaciones de $T$ dar lugar a diferentes automorfismos, que $|T|=\mathfrak c=2^{\aleph_0}$, y que no se $2^\mathfrak c$ permutaciones de $T$. Esto significa que hay al menos $2^\mathfrak c$ salvaje automorfismos. Por otro lado, sólo hay $\mathfrak c^\mathfrak c=2^{\mathfrak c}$ funciones de $\mathbb C$ a sí mismo, independientemente de si son de campo de automorfismos o no. Esto significa que no son, precisamente, $2^{\mathfrak c}$ (salvajes) campo de automorfismos de a $\mathbb C$.
La siguiente cosa a tener en cuenta es que hay un margen de maniobra aquí. No tenemos necesidad de iniciar con $T$. Podríamos tomar cualquier subcampo $\mathbb F$$\mathbb C$, tomar una trascendencia base sobre $\mathbb F$, y repetir el argumento anterior. De hecho, vemos de esta manera que, dado cualquier automorphism de $\mathbb F$, hay un campo automorphism de $\mathbb C$ que la extiende. Esto se explica en más detalle en el documento vinculado por kahen en un comentario más abajo,
Pablo B. De Yale. Automorfismos de los números complejos, las Matemáticas. Mag. 39 (1966), 135-141. (Lester R. Ford Premio, 1967.)
Desde básico de la teoría de campo sabemos que para cualquier irracionales algebraicas $\alpha$ podemos tomar $\mathbb F$ a ser el más pequeño subcampo de $\mathbb C$ que contiene todas las raíces del polinomio mínimo de a$\alpha$$\mathbb Q$, y que hay automorfismos de a $\mathbb F$ que se mueven $\alpha$. Ya que cualquiera de estos automorphism puede ser extendida a una de $\mathbb C$, esto muestra que no irracional algebraico número se fija por todos los automorfismos de a $\mathbb C$.
Del mismo modo, si $\alpha$ $\beta$ son trascendentales y algebraicamente independientes, entonces hay una trascendencia base $T$$\alpha,\beta\in T$, y hay un automorphism de $\mathbb Q(T)$ que se asigna a$\alpha$$\beta$. De nuevo, esto se extiende a un automorphism de $\mathbb C$, por lo que no trascendental número se fija por todos los automorfismos de a $\mathbb C$.
De ello se desprende que sólo los números racionales son fijadas por todos los automorfismos. Por otro lado, de nuevo desde básico de la teoría del campo, tenemos que si $\alpha$ es algebraica, entonces cualquier automorphism debe mapa de $\alpha$ a uno de sus conjugados, es decir, a una raíz del polinomio mínimo de a$\alpha$$\mathbb Q$. Esto significa que hay sólo un número finito de posibles valores de la imagen de $\alpha$ puede tomar.
Por último, una técnica de observación que he tenido en un comentario, pero probablemente merece una mejor visibilidad: Para la construcción de Solovay del modelo mencionado anteriormente requiere de un cardinal inaccesible. Por otro lado, como se muestra por el Sela, la consistencia de la fuerza es necesaria para mostrar que hay modelos de la teoría de conjuntos sin elección, donde todos los conjuntos de reales tiene la propiedad de Baire. Ahora, si un campo automorphism de $\mathbb C$ es Lebesgue medible, entonces es trivial (la identidad, o el complejo de conjugación). Mismo si se trata de Baire medibles. En cualquier modelo de la teoría de conjuntos, donde todos los conjuntos de reales tiene la propiedad de Baire, todas las funciones $f:\mathbb C\to \mathbb C$ son Baire medibles. De ello se deduce que en estos modelos, la única automorfismos de a $\mathbb C$ son triviales.
