Sea$M$ un colector liso,$x,y\in M$. ¿Debe existir un difeomorfismo$f : M \rightarrow M$ con$f(x) = y$?
He intentado probar esto a través de campos vectoriales, es decir, tratando de encontrar un campo vectorial cuyo flujo a través de$x$ pasa a través de$y$, sin mucho éxito. Además, esto sólo tiene la oportunidad de trabajar en colectores completos. ¿Alguien sabe la respuesta a esto?
No; Tome$M$ como la unión disjunta de dos colectores lisos que no son difeomórficos.
Sin embargo, la instrucción es verdadera si$M$ está conectado. Usted no necesita la integridad. Basta con mostrar que el conjunto de todos los puntos que se pueden alcanzar desde$x$ a través de algún difeomorfismo es tanto abierto como cerrado.
Puede encontrar una demostración de este hecho (si M está conectado) en el libro de Milnor - Topología desde el punto de vista diferenciable. Es el lema de la homogeneidad. De hecho, usted tiene más:
Homogeneidad Lemma: Sea$y$ y$z$ arbitramos los puntos interiores de la variedad lisa conectada M. Entonces existe un difeomorfismo$f:M\rightarrow M$ que es suavemente isotópico a la identidad y lleva$y$ dentro $z$.
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