La topología del segmento final de los naturales

Question

Definimos el espacio topológico $(\mathbb{N},\tau)$. El abierto de los conjuntos de esta espacios topológicos son los conjuntos de la forma $\{n+1,n+2,\dotsc\}$, para algunas de las $n\in\mathbb{N}$. Esta topología se llama el segmento final de la topología.

Mi pregunta es: esta topología se define por encima de la finitos complemento de la topología de los naturales?

Ι saber que la única conjuntos cerrados en el complemento finito de topología son los conjuntos finitos.

Así que si $m\in\mathbb{N}$ el conjunto $A=\{1,\dots,m-1,m+1,\dotsc\}$ no está abierto en el segmento final de la topología, por lo tanto, $\mathbb{N}\setminus\{A\}$ no está cerrado en esta topología. Pero está cerrado en el complemento finito topología de modo que las dos topologías son diferentes.

Es este ejemplo de la derecha?

Answer 1

Claramente cada conjunto abierto en el segmento final de la topología está abierto en el complemento finito de topología.

Sin embargo, hay conjuntos en lo finito complemento de la topología de que no están abiertos en el segmento final de la topología, por ejemplo $$\mathbb{N}\setminus\{2\}$$

Así que, sí, su ejemplo es correcto.

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El único punto cerrado en el segmento final de la topología es $1$ (sería $0$, si se considera que en los números naturales), mientras que todos los puntos están cerrados en lo finito complemento de la topología.