¿Podemos reconstruir los potenciales 1D en QM a partir del espectro?

Question

Conociendo el potencial, podemos encontrar el espectro del operador de Schrödinger. La pregunta inversa es: Conociendo el espectro, ¿podemos reconstruir el potencial? Por ejemplo, un potencial armónico tiene un espectro igualmente espaciado. ¿Pero es cierto lo contrario?

Esto es, por supuesto, similar al problema de "escuchar la forma del tambor", que tiene una respuesta negativa. Pero también debemos notar que en la mecánica clásica, si el potencial es simétrico, podemos recuperarlo del período de oscilación en función de la energía de la partícula. Esto se debe al ingenioso trabajo de Abel.

Answer 1

La respuesta es no, me temo. Como bien sabrá, el operador de Laplace que se auto-ajusta $- \Delta $ en $L^2( \mathbb {R})$ tiene un espectro puramente continuo $ \mathbb {R}^+$ .

Ahora deja que $V \in L^{ \infty }( \mathbb {R}, \mathbb {R}^+)$ ser una función positiva delimitada arbitrariamente. Entonces $- \Delta_x +V(x)$ donde $V$ actúa como un operador multiplicador es auto-adjunto y tiene espectro $ \mathbb {R}^+$ .