¿Cuál es la manera más motivadora de introducir espacios internos generales del producto? Estoy buscando ejemplos que tengan un impacto real. Para los espacios euclidianos relacionamos el producto punto con el ángulo entre los vectores que la mayoría de las personas encuentran tangibles. ¿Cómo podemos extender esta idea al producto interior de espacios vectores generales tales como el conjunto de matrices, polinomios, funciones?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Uno de los usos para el interior de los productos es una identificación entre el espacio y su doble. Si el espacio es finito-dimensional, entonces este es un isomorfismo, de lo contrario, se da una inyección de $E \rightarrow E^*$. De hecho, suponga que se dan un no-degenerada forma bilineal $(,)$. A continuación, para$x \in E$$x^* = (y \mapsto (x,y)) \in E^*$. Esto proporciona una inyectiva lineal de asignación.
En particular, esto le da una manera práctica de calcular las "coordenadas", que es básicamente lo que Giuseppe Negro estaba diciendo. Una vez que hayas encontrado una base ortonormales (o, por ejemplo, en el caso de Hilbert de una base de hilbert), es suficiente para calcular los productos con elementos de la base para encontrar las coordenadas, que no es tan fácil en el caso general.
Bill Cook
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Como se ha mencionado en los comentarios es difícil equivocarse con la transformada de Fourier Polinomios.
Pero hay todo tipo de polinomios especiales (con abundancia de aplicaciones) que son (o al menos pueden ser definidos en términos de ortogonalidad...por ejemplo: polinomios de Laguerre, Polinomio de Hermite, y Los polinomios de Chebyshev.
