Soy un nuevo usuario de modo que si mi pregunta es inapropiado, no uniforme o de una mala forma; por favor deje un comentario (o editar tal vez).
Primero de todo, me estoy preguntando que si mi prueba es correcta o no. Por supuesto, usted puede probar es mejor y esto me ayuda pero mi principal razón para esta pregunta es un cheque para mi prueba.
Deje $a \in V \subseteq X \subseteq \mathbb{R} $. Si por un intervalo abierto $I$, $I \cap X \subseteq V$, llamamos a $V$ "$X$- barrio de $a$".
Vamos a probar la siguiente declaración:
"Vamos a $X \subseteq \mathbb{R}$ y asumir que todos los $x \in X$ existen un número finito de $X$-barrio de $x$. A continuación, $X$ debe ser countably infinito."
EDIT: no tiene que ser infinito, que sólo debe ser contable.
Mi prueba: el hecho de que la $X \subseteq \mathbb{R} $, podemos mostrar que sólo $X$ no es uncountably infinito. Pero$_*$ también, debemos mostrar que $X$ no puede ser finito.
Supongamos que $X$ es uncountably infinito y vamos a definir un conjunto $A$
- $A = \{Y$: El conjunto de $X \setminus Y$ es todavía uncountably infinito$ \} $.
Ahora$_{**}$ vamos a recoger un máximo de$_{***}$ elemento $B$$A$. Entonces, si $x \in X\setminus B$ debe haber un número finito de $X$-barrio de $x$. Vamos a llamar a este barrio como $W$ y llame el intervalo abierto ($I$ (puede haber más de un intervalo abierto, solo tienes que elegir uno de ellos) que hacen que la $W$ $X$- barrio de $x$ .Entonces, obviamente $(X \setminus B) \cap I \subseteq W $. Pero, a continuación, $(X \setminus B) \cap I \in A $ y si tomamos $J = (X \setminus B) \cap I$, $(X \setminus B) \setminus J = X \setminus (B \cup J)$ debe ser en $A$ y eso es una contradicción porque tomamos $B$ como un elemento maximal.
$_*$: Con la edición, esta parte está mal.
$_{**}$: Tenemos que demostrar que está bien definido y existe un elemento maximal de A.
$_{***}$: Si por un $k_1 \in A$, no existe el $k_2 \in A$ tal que $k_2 \subset k_1$, llamamos a $k_1$ como el elemento maximal.
Para finalizar debemos demostrar que $_{**}$ pero creo que se puede demostrar fácilmente. También, hay pequeñas cosas que, por ejemplo, $B$ no puede ser vacío.
Gracias por la ayuda y por favor tenga en mente que no puedo entender de alto nivel topológico explicaciones.
