Campo de clase Hilbert de$\mathbb{Q}(\sqrt{65})$

Question

Dejar $K = \mathbb{Q}(\sqrt{65})$. Dejar $L = \mathbb{Q}(\sqrt{5}, \sqrt{13})$. ¿Es$L$ el campo de la clase Hilbert de$K$? En caso afirmativo, ¿cómo probaría esto?

Answer 1

Primero, calcule el número de clase de$K$; la respuesta es $2$.

Ahora$L$ es una extensión cuadrática de$K$, que está unramified excepto posiblemente en primos por encima de$5$ (write$L = K(\sqrt{5})$) y también está unramified excepto posiblemente a primos por encima de% #% (escribir $13$). Por lo tanto$L = K(\sqrt{13})$ es cuadrático y no ramificado en todas partes (incluyendo en el infinito, ya que es una extensión totalmente real), y por lo tanto debe ser el Hilbert Class Field de$L/K$.

Answer 2

Dado que el número de clase de $K$ 2, es suficiente para demostrar que $L$ es unramified en cada finito de primos de $K$. Primera nota de que $L = K(\sqrt{5}) = K(\sqrt{13})$.

Deje $\mathfrak{D}$ ser diferentes de $L/K$. Deje $f(X) = X^2 - 5$. $f'(\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$. Por lo tanto $2\sqrt{5} \in \mathfrak{D}$. Del mismo modo $2\sqrt{13} \in \mathfrak{D}$.

Desde el 5 y 13 son relativamente primos, $\sqrt{5}$ $\sqrt{13}$ son relativamente primos en $L$. Por lo tanto $1 = \alpha\sqrt{5} + \beta\sqrt{13}$ para algunos enteros algebraicos $\alpha, \beta \in L$. Por lo tanto $2 = \alpha 2\sqrt{5} + \beta 2\sqrt{13} \in \mathfrak{D}$.

Deje $g(X) = X^2 + 3X + 1$. $\gamma = (-3 + \sqrt{5})/2$ es una raíz de $g(X)$. Por lo tanto $g'(\gamma) = \sqrt{5} \in \mathfrak{D}$. Por lo tanto $5 = (\sqrt{5})^2 \in \mathfrak{D}$. Desde $2, 5 \in \mathfrak{D}$, $1 \in \mathfrak{D}$. Por lo tanto $L/K$ es unramified.