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Question

Hola estoy practicando alguna teoría de números y me he encontrado con el siguiente problema,

Supongamos que$n \geq 1$ es un entero impar que divide$a^2 - 1$ para un número entero$a > 1$. Pruebalo,

ps

Ahora sé que el$$n = \gcd(a-1, n)\gcd(a+1, n)$ si$\gcd(a-1, a+1) = 1$ es par y$a$ si$2$ es extraño y creo que esto es relevante pero no puedo resolver el problema. Realmente no tengo ni idea de por dónde empezar, ni siquiera la ayuda con eso sería genial.

Gracias

Answer 1

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Observación $(a\!-\!1,n)(a\!+\!1,n) = (a^2\!-\!1,n(a\!-\!1,a\!+\!1,n)) = (a^2\!-\!1,n)$ Lo anterior demuestra que$\,(a\!-\!1,a\!+\!1,n)=(a\!-\!1,\overbrace{2,n}^{=1})=1$ if$\ $ utiliza únicamente leyes universales de gcd (asociativas, distributivas, etc), por lo que funciona de manera muy general. Usted puede encontrar varias pruebas de todas esas leyes gcd en mis posts anteriores aquí.

Answer 2

Vamos a probar el resultado mostrando que (i) $n$ divide $\gcd(a-1,n)\gcd(a+1,n)$ y (ii) $\gcd(a-1,n)\gcd(a+1,n)$ divide $n$.

La prueba de (i): Vamos a $b=\gcd(a-1,n)$. A continuación, $b$ divide $n$. Deje $n=bq$.

Sabemos que $bq$ divide $(a-1)(a+1)$, lo $q$ divide $(a-1)(a+1)$. Pero $q$ $a-1$ son relativamente primos. De ello se desprende que $q$ divide $a+1$. Por lo tanto $q$ divide $\gcd(a+1,n)$. De ello se sigue que $n$ divide $\gcd(a-1,n)\gcd(a+1,n)$.

La prueba de (ii): tenga en cuenta que $\gcd(a-1,n)$ $\gcd(a+1,n)$ son relativamente primos. Esto es debido a que cualquier común divisor $k\gt 0$ $\gcd(a-1,n)$ $\gcd(a+1,n)$ debe dividir $n$, $a-1$, y $a+1$. Por lo $k$ divide $(a+1)-(a-1)$. Pero $k$ divide $2$. Desde $n$ es impar, lo que significa $k=1$. Desde $\gcd(a-1,n)$ $\gcd(a+1,n)$ cada división de $n$, y son relativamente primos, su producto se divide $n$. Esto completa la prueba.

Answer 3

Usted sabe $n$ es impar, por lo tanto, esencialmente esta $2$ no se supone que te dan un problema. Usted sabe que $n \, | \, a^2 - 1$, por lo tanto $n \, | \, (a-1)(a+1)$. Por el teorema fundamental de la aritmética, podemos escribir $n$ como producto de distintas primer poderes.

Supongamos $p^{\alpha} \, || \, (a-1)(a+1)$ $p \neq 2$ es un primo. Desde $p \not\mid (a-1,a+1) \in \{1,2\}$, sabemos que $p$ no se puede dividir tanto $(a-1)$$(a+1)$. De ello se desprende que $p^{\alpha} | a-1$ o $p^{\alpha} | a+1$.

Puesto que la fórmula está tratando de demostrar es multiplicativo en ambos lados, para enteros $n$, puede restringir la prueba para el primer caso power. Yo deje de llenar los espacios en blanco.

Espero que ayude,