Quisiera determinar las singularidades de$f$, dadas por$$f(z) = \frac{1}{\cos(\frac{1}{z})}.$ $ Es claro para mí que$z = 0$ y$z = \frac{2}{(1+2k)\pi}$ para$k\in\mathbb Z$ son singularidades. Sin embargo, ahora no sé cómo manejar por$$ \cos(\frac{1}{z}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1) z^{-2n}}{(2n)!} \;\forall z\neq 0 $ $ que son los tipos de esas singularidades. Estaría muy contento si me diera alguna pista o explicación. Gracias.
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La serie de Taylor para la secante es $$ \s(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{E_{2n}z^{2n}}{(2n)!} $$ donde $E_{2n}$ es el número de Euler. Entonces $$ \s(1/z) = \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{E_{2n}}{z^{2n}(2n)!} = 1 + \frac{1}{2z^2} + \frac{5}{24z^4} + \frac{61}{720z^6} + \cdots $$ Ahora, hay tres tipos de singularidades. Hemos extraíble, polacos y esencial. ¿Qué tenemos aquí?
Una singularidad removible se define como:
- Si $f$ está delimitada en un barrio de $z_0$, entonces se puede definir $f(z_0)$ en un único modo, de manera que la función también es analítica en $z_0$
En un polo se define como:
- $f$ tiene un polo de orden finito $m$ $z_0$ si y sólo si $f(z)(z-z_0)^m$ es holomorphic en $z_0$ y no tiene ningún cero en $z_0$.
Finalmente, un elemento esencial de la singularidad se define como:
- Si el Laurent de la serie tiene un número infinito de términos negativos, entonces decimos que $z_0$ es una singularidad esencial de $f$.
