Derivación elemental de las ecuaciones de movimiento de un péndulo invertido sobre un carro

Question

Consideremos un carro de masa $M$ limitado a moverse en el eje horizontal. En el punto medio del carro se fija una varilla sin masa que tiene una masa $m$ en su punto final. Véase wikipedia para ver una imagen y una derivación de las ecuaciones de movimiento.

Me pregunto si alguien podría proporcionar una derivación elemental de estas ecuaciones de movimiento, utilizando sólo la segunda ley de Newton y diagramas de cuerpo libre sin apelar a las ecuaciones de Euler Lagrange.

Mis razones para preguntar: Soy un estudiante de matemáticas que va a utilizar esto como ejemplo en una presentación a estudiantes de ingeniería y no quiero apelar a conceptos que ni yo ni mi audiencia conocemos; desgraciadamente, mis conocimientos de física son tristemente escasos....

Answer 1

En primer lugar, divida el problema en dos diagramas de cuerpo libre .

A continuación, calcular la cinemática en el punto A $$\vec{r}_A = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\vec{v}_A = \begin{pmatrix}\dot x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\vec{a}_A = \begin{pmatrix}\ddot x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ y punto B $$\vec{r}_B = \vec{r}_A + \begin{bmatrix} \cos\theta & \text{-}\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ l \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - l \sin\theta \\ l \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot\theta \end{pmatrix} \times \left( \vec{r}_B - \vec{r}_A \right) = \begin{pmatrix} \dot{x}-l \dot{\theta}\cos\theta \\ \text{-}l \dot\theta \sin\theta \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \ddot\theta \end{pmatrix} \times \left( \vec{r}_B - \vec{r}_A \right)+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \ddot\theta \end{pmatrix} \times \left( \vec{v}_B - \vec{v}_A \right) = \begin{pmatrix} \ddot{x}-l \ddot{\theta}\cos\theta+l \dot{\theta}^2 \sin\theta \\ \text{-}l \ddot\theta\sin\theta -l \dot{\theta}^2 \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}$$

Halla la suma de las fuerzas de los dos cuerpos utilizando la trigonometría

$$\sum \vec{F}_A = \begin{pmatrix} F +A_y \sin\theta \\ N- A_y \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\sum \vec{F}_B = \begin{pmatrix} - A_y \sin\theta \\ A_y \cos\theta - m g \\ 0 \end{pmatrix}$$

Y finalmente aplicar las leyes de Newton a los centros de gravedad

$$\sum \vec{F}_A = M \vec{a}_A$$ $$\sum \vec{F}_B = m \vec{a}_B$$

que es 4 ecuaciones (ignorar z -componentes) con 4 incógnitas $N$ , $A_y$ , $\ddot{x}$ , $\ddot\theta$ .

La solución final que obtengo para el movimiento es

$$\ddot{x} = \frac{F + m g \cos\theta \sin\theta -m l \dot{\theta}^2 \sin\theta } {M + m\sin^2\theta}$$ $$\ddot{\theta} = \frac{g (M+m) \sin\theta - \cos\theta (l m \dot{\theta}^2 \sin\theta-F)}{l (m \sin^2\theta+M) }$$

Lo anterior ignora todos los componentes rotacionales para cuerpos rígidos expresados en Newton-. de Euler ecuaciones de movimiento. Las ecuaciones de movimiento rotacional serían $\sum \vec{M}_A = I_A \dot{\vec{\omega}_A} + \vec{\omega}_A\times I_A \vec{\omega}_A$ y $\sum \vec{M}_B = I_B \dot{\vec{\omega}_B} + \vec{\omega}_B\times I_B \vec{\omega}_B$ pero eso está fuera del alcance de este debate.