Si$x$ no es divisible por$3$, ¿cómo probar que$4x^2+3$ tiene al menos un divisor principal de la forma$12n+7$?
Gracias.
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MrTuttle
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Hecho de $0$: Un número de la forma $4x^2 + 3$ es impar, por lo tanto, todos sus primos divisores necesariamente debe ser impar.
Hecho de $1$: Si $x$ no es un múltiplo de a$3$,$x^2 \equiv 1 \pmod{3}$, y por lo tanto $4x^2 + 3$ no es un múltiplo de a $3$.
Hecho de $2$: Si $p$ es un primer dividiendo un número de la forma $4x^2 + 3$ donde $x$ no es un múltiplo de a$3$, $-3$ es un residuo cuadrático módulo $p$, que es
$$1 = \left(\frac{-3}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right),$$
el último por la reciprocidad cuadrática. Eso significa que $p \equiv 1 \pmod{3}$.
Por lo tanto, un primer dividir un número $4x^2 + 3$ donde $x \not\equiv 0 \pmod{3}$ debe ser $\equiv 1 \pmod{12}$ o $\equiv 7 \pmod{12}$.
Pero el número de $4x^2 + 3 \equiv 7 \pmod{12}$, por lo que no todos sus primos divisores pueden ser $\equiv 1 \pmod{12}$.
Oli
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89
Desde $4x^2+3$ es de la forma $4k+3$, tiene al menos un divisor primo $p$ de la forma $4k+3$. y por lo tanto de la forma $12n+3$, $12n+7$, o $12n+11$. La posibilidad de $12n+3$ es descartado por el hecho de $x$ no es divisible por $3$. Ahora procedemos a descartar la forma $12n+11$.
Tenga en cuenta que desde $4x^2\equiv -3\pmod{p}$, se deduce que el $-3$ es un QR de $p$. Por lo tanto $(-3/p)=1$. Desde $p$ es de la forma$4k+3$,$(-1/p)=-1$, lo $(p/30=-1$. Así, por medio de la Reciprocidad Cuadrática, tenemos $(p/3)=1$. De ello se desprende que $p\equiv 1\pmod{3}$, descartando $p$ de la forma $12n+11$.
