Utilización de la sustitución trig para evaluar$\int \frac{dt}{( t^2 + 9)^2}$

Question

ps

$$\int \frac{\mathrm{d}t}{( t^2 + 9)^2} = \frac {1}{81} \int \frac{\mathrm{d}t}{\left( \frac{t^2}{9} + 1\right)^2}$

ps

ps

$t = 3\tan\theta\;\implies \; dt = 3 \sec^2 \theta \, \mathrm{d}\theta$

ps

Esto es un desastre, y también es la respuesta equivocada.

Lo he hecho cuatro veces, ¿a dónde me equivoco?

Answer 1

Intenta volver a tu integral:$$\int \cos^2\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C$ $

Obtenemos un factor de$\frac 12,$ y no$2$, multiplicando el segundo término en la suma.

Tenga en cuenta, lo que es más importante, que sus sustituciones de$\cos\theta\sin\theta$ en términos de$\theta = \arctan(t/3)$ también son incorrectas.

Tenemos que$\theta = \arctan(t/3) \implies \tan \theta = \dfrac t3.\;$ Correspondiendo a esto es$\;\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{t^2 + 9}}$ y$\;\sin\theta = \dfrac t{\sqrt{t^2 + 9}}.$

Eso nos da un $$\frac{1}{ 27}\left( \frac 12\cdot \arctan \frac{t}{3} + \frac 12 \underbrace{\frac{t}{\sqrt{t^2 + 9}}}_{\sin \theta}\cdot \underbrace{\frac{3}{\sqrt{t^2 + 9}}}_{\cos\theta}\right) + C$ $ $%

Answer 2

La integral$$ \int \cos^2 \theta \, \mathrm d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta+C. $ $ (Tuvo el coeficiente equivocado)