Cómo evaluar la siguiente integral: $\int_0^1\frac{\log(1+x)}{1+x^2}dx$

Question

Me gustaría evaluar:
$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\log(1+x)}{1+x^2}\, dx$$

He intentado evaluarlo utilizando integración por partes pero fracasó. ¿Cómo puedo evaluarlo?

Answer 1

Por el cambio de variable $$x=\tan t, \qquad dt=\dfrac1{1+x^2}dx,$$ uno puede simplemente escribir $$ \begin{align} \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\, dx&= \int_0^{\pi/4} \ln(\cos t +\sin t)\, dt- \int_0^{\pi/4} \ln(\cos t)\, dt\\\\ &=\int_0^{\pi/4} \ln\left(\sqrt{2}\cos \left(\frac \pi4- t\right)\right)\, dt- \int_0^{\pi/4} \ln(\cos t)\, dt\\\\ &=\int_0^{\pi/4} \ln\left(\sqrt{2}\right)\, dt+\int_0^{\pi/4} \ln\left(\cos \left(\frac \pi4- t\right)\right)\, dt- \int_0^{\pi/4} \ln(\cos t)\, dt\\\\ &=\frac{\pi}8 \:\ln 2+\int_0^{\pi/4} \ln(\cos u)\, du-\int_0^{\pi/4} \ln(\cos t)\, dt\quad \left(u=\frac \pi4- t\right)\\\\ &=\frac{\pi}8 \:\ln 2. \end{align} $$

Answer 2

La solución presentada anteriormente es quizá la más sencilla. Aquí está mi favorita.

Definimos una función $$f(t) = \int^1_0 \frac{\ln (xt+1)}{x^2+1} \text{ d}x.$$ El objetivo es evaluar $f(1)$ . Observamos que $f(0)=0$ . Diferenciación $f$ con respecto a $t$ (y diferenciando bajo la integral; permitido por la regla de Leibniz) da, $$f'(t) = \int^1_0 \frac{x}{(xt+1)(x^2+1)} \text{ d}t.$$ Utilizando fracciones parciales, vemos $$\frac{x}{(xt+1)(x^2+1)} = \frac{A}{xt+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \,\,\, \implies \,\,\, x = A(x^2+1) + (Bx+C)(xt+1) $$ $$ \implies \,\,\, A+Bt = 0 \,\,\, , \,\,\, B+ Ct = 1 \,\,\, , \,\,\, A + C = 1.$$ Este sistema se resuelve unívocamente mediante $$A = \frac{-t}{t^2+1} \,\,\, , \,\,\, B = \frac{1}{t^2+1} \,\,\, , \,\,\, C = \frac{t}{t^2+1}.$$ Entonces \begin{align*} f'(t) &= \int^1_0 \left\{ \frac{A(t)}{xt+1} + \frac{xB(t)}{x^2+1} + \frac{C(t)}{x^2+1} \right \} \text{ d}x \\ &= \left. \left\{ \frac{A(t)}{t} \ln (xt+1) + \frac{B(t)}{2} \ln(x^2+1) + C(t) \tan^{-1}(x) \right\} \right|_{x=0}^{x=1} \\ &= -\frac{\ln(t+1)}{t^2+1} + \frac{\ln(2)}{2}\frac{1}{t^2+1} + \frac{\pi}{4} \frac{t}{t^2+1}.\end{align*} Integración de $t=0$ a $t=1$ produce $$f(1) = -f(1) + \frac{\ln(2)}{2} \frac{\pi}{4} + \frac{\ln(2)}{2}\frac{\pi}{4}$$ $$\implies \,\, \boxed{f(1) = \frac{\pi \ln(2)}{8}}.$$