Prueba geométrica de que $\int_a^c (x-a)(x-b)(x-c)\ dx=0$ sólo si $b$ es el punto medio de $a$ y $c$ .

Question

Sea $a<b<c$ sean tres números reales, y $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ . Queremos demostrar que $\int_a^c f(x)\ dx=0$ sólo si $b=\frac{a+c}{2}$ .

El primer movimiento es desplazar horizontalmente $f$ por $b$ unidades, es decir introducir $g(x)=f(x+b)=(x-r_1)x(x+r_2)$ con $r_1<0<r_2$ . Entonces la afirmación se convierte en $\int_{r_1}^{r_2} g(x)\ dx=0$ sólo si $r_1=-r_2$ .

Si $r_1=-r_2$ el resultado es verdadero, ya que el integrando es impar. Para la inversa, un cálculo no difícil pero aburrido muestra que la integral es $\frac{(r_1-r_2)^3(r_1+r_2)}{12}$ lo que significa que $r_1=-r_2$ (ya que $r_1-r_2<0$ ).

Esto funciona, pero los cálculos no me satisfacen y tengo la fuerte intuición de que podría haber una forma más geométrica.

Mi pregunta ¿existe una forma de mostrar este resultado sin cálculos?

Answer 1

Intenta reescribirlo de esta manera:

$\int_a^c f(x)=\int_a^c (x-a)(x-m)(x-c)dx + (m-b)\int_a^c (x-a)(x-c)dx$

La función $(x-a)(x-m)(x-c)$ es la función impar si situamos el origen de la rejilla en $(m, 0)$ . Así que la integral es cero. La segunda integral es cero si y sólo si $m = b$ .

¿Le satisface esta prueba?

Answer 2

Tenga en cuenta que $f(x) = (x-a)(x-c) < 0$ para todos $x \in (a,c)$ .

No es demasiado difícil ver (por "simetría", ya que $f(x) = - f({a+c \over 2} -(x-{a+c \over 2})$ ) que $\int_a^c f(x) (x-{a+c \over 2}) dx = 0$ .

Tenga en cuenta que $\int_a^c f(x) (x-b) dx = \int_a^c f(x) ((x-b) - (x-{a+c \over 2})) dx = \int_a^c f(x) (({a+c \over 2} -b)) dx$ de lo que se deduce que la integral es cero si $b={a+c \over 2}$ .

Aparte: Para ver por qué $\int_a^c f(x) (x-{a+c \over 2}) dx = 0$ elija una cambio de variables $t=a+c-x$ . Entonces observamos que $f(t) = f(x)$ y $\int_a^c f(x) (x-{a+c \over 2}) dx =\int_c^a f(t) ({a+c \over 2}-t) (-1) dt = - \int_a^c f(t) (t-{a+c \over 2}) dt$ .

Answer 3

¿Te has dado cuenta? cada curva cúbica es antisimétrica con respecto a su puntos de inflexión que puede calcularse en tu caso por doble diferenciación:

$$ x_I =\frac{a+b+c}{3},y_I=f(\frac{a+b+c}{3})? $$

Desplazamiento del origen del sistema de coordenadas a $ x_I,y_I $ lo convierte en una forma

$ y_1 = A x_1( x_1^2 - B^2) $ donde $ B = (a_1+c_1)/2 $

que es una función impar, la integral o área bajo la curva cúbica desaparece entre la nueva $ x_1=a_1, x_2=c_1. $

Si no está suficientemente claro, se explicará de nuevo.

EDIT2:

Siento el retraso. Refundición de la cúbica utilizando $ h,k $ símbolos de desplazamiento.

Cuando 3 raíces son reales,

La ecuación cúbica del polinomio de tercer grado se toma wlog para la discusión de las raíces como:

$$ y = - (x-a) ( x-b) (x-c) \tag{1} $$ tiene un punto de inflexión en

$$ x = h = (a+b+c)/3 ; \, \, y = k = - (a + b- 2 c) ( b + c -2 a) ( c + a - 2 b)/27 \tag{2} $$

con una extensión $\sigma$ a cada lado en el nivel del punto de inflexión $ y= k: $

$$ \sigma = \pm \sqrt{ (a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a) /3}\tag{3} $$

es decir, las raíces cuando se toman como

$$ x = ( h -\sigma, h, h + \sigma ),\,\, y = k \tag{4} $$

llevan la ecuación cúbica a otra forma algebraica equivalente a (1):

$$ ( y-k) = - ( x -h -\sigma)( x- h)( x- h + \sigma) \tag{5} $$

Cuando las raíces están en progresión aritmética, dejando que $ ( a + c) = 2\, b, X = x -h \tag{6} $

asume una forma mucho más simple:

$$ y = - X ( X^2 - \sigma ^2) \tag{7} $$

que es un Función impar anti-simétrico con respecto a las coordenadas desplazadas $X=0 $ .

La integral desaparece cuando se evalúa entre $ X = \pm \sigma $ límites. Es lo mismo que decir que entre tres puntos equiespaciados $ (a, (a+c)/2, c) $ la integral también debería desaparecer en la situación sin desplazamiento de la cúbica ondulada.

La equivalencia de las formas cúbicas (1), (5) es válida cuando hay una raíz real y dos complejas conjugadas.

Answer 4

Para ampliar la respuesta de Narasimham tenemos que demostrar también que

$$x_I = (a+b)/2$$ si $$c = (a+b)/2$$

Sustituyendo y simplificando se obtiene:

$$x_I = \frac{a+b + \frac{a+b}{2}}{3} = \frac{2(a+b) + (a+b)}{6} = \frac{a+b}{2}$$