La integral que estaba enfrentando problemas es el siguiente: %#% $ de #% sustituye, $$\int^1_0 \frac{\log x}{1+x}\,dx$ $ esto es lo que tengo: $$ 2\int ^ {\frac {\pi} {4}} _0 \frac{\log (\cdot 2\tan\theta\sec \tan \theta)}{\sec^2\theta} ^ 2\theta \, d\theta\\ = 4\int ^ {\frac {\pi} {4}} _0 \tan\theta\cdot\log (\tan\theta) \,d\theta$$ no puedo proseguir cualquier. ¿Qué hago luego? ¿Es este el enfoque correcto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Eric Naslund
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La expansión de la serie de $\frac{1}{1+x}$, su integral es $$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \int_0^1 x^k\log x \, dx.$$ Using integration by parts, with $U=\log x$ and $dV=x^k\,dx$, we have that $$\int_0^1 x^k \log x \, dx=-\frac{1}{(k+1)^2},$$ and so $$\int_0^1 \frac{\log x}{1+x}=-\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}$$ $$=-\eta(2)=-\frac{\pi^2}{12},$$ donde $\eta(s)$ es la de Dirichlet Eta Función. La evaluación de $\eta(2)$ es exactamente tan difícil como la evaluación de $\zeta(2)$ (no es difícil mostrar que $\eta(2)=\zeta(2)/2$) por lo que no será "fácil" integración por partes de la solución de esta integral. Ver esta respuesta para obtener más detalles sobre cómo evaluar $\zeta(2)$: Diferentes métodos para calcular los $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$.
