Un amigo y yo estábamos hablando sobre los derivados, y él le hizo una pregunta interesante. Ya que tanto de nosotros no han tomado nuestros cursos de análisis matemático sin embargo, ninguno de nosotros estaba seguro de la respuesta. Su pregunta tiene dos partes: 1. se puede tener una fracción de la orden de derivados, es decir, se podría ha $\frac{d^ny(x)}{dx^n}$ donde, por ejemplo, $n=\frac{1}{2}$? Y, 2. se puede tener una variable como el fin de un derivado es decir $\frac{d^ny(x)}{dx^n}$ donde n=alguna variable? Tengo dudas en cuanto a si son o incluso posible, pero me decidí a publicar la qestion para averiguar seguro.
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Oh, muchacho, esto es una diversión una respuesta. En primer lugar, sí, estas cosas existen y son una cosa que se llama fracciones de cálculo.
Para empezar, supongamos que las funciones que estamos viendo son suaves , de modo que todas las normales derivados de existir.
En segundo lugar, también querrá $\frac{d^a}{dx^a}=D_x^a$, $a$th derivados w.r.t. $x$.
Tercero, queremos $D_x^aD_x^b=D_x^{a+b}$. Específicamente, $D^{1/2}D^{1/2}=D^1$.
Ahora, un enfoque sería utilizar el límite de la definición de la derivada:
$$D_x^1f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$
Como hemos asumido que todos estos derivados de existir, es suficiente para reemplazar estos límites con límites laterales:
$$^+D_x^1f(x)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$
Tomar la derivada de nuevo y tendrás
$$^+D_x^2f(x)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}$$
Uno puede entonces deducir la siguiente fórmula con la inducción:
$$^+D_x^nf(x)=\lim_{h\to0^+}\frac1{h^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nkf(x+(n-k)h)$$
Desde $\binom nk=0$ por cada $n-k\in\mathbb N_{>0}$, tenemos
$$^+D_x^nf(x)=\lim_{h\to0^+}\frac1{h^n}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom nkf(x+(n-k)h)$$
Deje $h=1/N$, y esto se convierte
$$^+D_x^nf(x)=\lim_{N\to\infty}N^n\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom nkf\left(x+\frac{n-k}N\right)$$
Esto permite una extensión de fracciones de derivados, en el que hacemos uso generalizado de los coeficientes binomiales:
$$^+D_x^af(x)=\lim_{N\to\infty}N^a\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom akf\left(x+\frac{a-k}N\right)$$
Sin embargo, por encima de la suma tiene el molesto la actitud para ser divergentes para los valores negativos, por lo tanto, se puede incluir un parámetro adicional para arreglar eso:
$$_b^+D_x^af(x)=\lim_{N\to\infty}N^a\sum_{k=0}^{bN}(-1)^k\binom akf\left(x+\frac{a-k}N\right)$$
Esta es una versión extendida de la Grunwald-Letnikov derivados, y como he demostrado anteriormente, el anterior se extiende a las integrales a través de las sumas de Riemann:
$$_1^+D_x^{-1}f(x)=\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{k=1}^Nf\left(x-\frac kN\right)=\int_{x-1}^xf(t)~\mathrm dt$$
Genial, ¿verdad?
Ahora, el límite anterior es bastante horrendo y, en verdad, difícil de evaluar en cualquier no-valor entero. Mientras que la siguiente definición para las fracciones de los derivados no son mucho más simples, suelen ser más directo para resolver. Para empezar, en lugar de mirar a fracciones de las integrales.
Veamos $_uJ_x^a$ $a$th integral w.r.t. $x$ alrededor del punto de $u$. Es decir,
$$_uJ_x^af(x) = \int_u^x \int_u^{\sigma_1} \cdots \int_u^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{a}) \, \mathrm{d}\sigma_{a} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1$$
Tenga en cuenta que $u$ tiene un impacto en la integral. Es, quizás, una cosa curiosa, que tenemos la siguiente fórmula:
$$_uJ_x^nf(x)=\frac1{(n-1)!}\int_u^x(x-t)^{n-1}f(t)~\mathrm dt$$
lo que puede ser demostrado por inducción. Aquí, $n!$ es el factorial, donde se defina a través de la función Gamma,
$$x!=\int_0^\infty t^xe^{-t}~\mathrm dt,\quad x>-1$$
Evidentemente, la fórmula anterior se extiende a los valores no enteros. En varias ocasiones la diferenciación, se encontrará con la ayuda del teorema fundamental del cálculo que
$$D_x^a~_uJ_x^bf(x)\stackrel?=D_x^{a-b}f(x)$$
Por desgracia, el lado derecho no tiene un $u$, lo que podría ser un problema, así que tenemos que incluir un parámetro adicional:
$$_uD_x^a~_uJ_x^bf(x)=~_uD_x^{a-b}f(x)$$
También tenga en cuenta que el orden es necesario, ya que
$$f(x)=\frac d{dx}\int_u^xf(t)~\mathrm dt\ne\int_u^x\frac d{dt}f(t)~\mathrm dt=f(x)-f(0)$$
Es decir, tenemos que tomar la integral de la primera, entonces la derivada. Esto conduce a una natural derivada fraccional:
$$_uD_x^af(x)=\begin{cases}\frac1{(-\{a\})!}\frac{d^{\lceil a\rceil}}{dx^{\lceil a\rceil}}\int_u^x(x-t)^{-\{a\}}f(t)~\mathrm dt,&a\ge0\\\frac1{(a-1)!}\int_u^x(x-t)^{a-1}f(t)~\mathrm dt,&a<0\end{cases}$$
Donde $\{a\}$ es la parte fraccionaria de $a$. Por ejemplo,
$\{\pi\}=0.1415926\dots$
$\{-2.7\}=0.3$
Y $\lceil a\rceil$ es el límite máximo de $a$. Por ejemplo,
$\lceil\pi\rceil=4$
$\lceil-2.7\rceil=-2$
Usando esta definición, usted puede encontrar que
$$_0D_x^ax^b=\frac{b!}{(b-a)!}x^{b-a}$$
como un simple ejemplo. En particular, tenemos cosas como
$$_0D_x^{1/2}\sqrt x=\frac{\sqrt\pi}2$$
Por supuesto, hay muchas otras fracciones de derivados por ahí (de hecho, no hay dos fracciones de derivados son necesariamente el mismo), así que le sugiero que busque en Wikipedia más si usted está interesado, y si usted se siente listo para hacer algunos locos integrales, trate de hacer algo de investigación.
Drew Jolesch
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Sí. Fracciones de derivados de existir.
Véase, por ejemplo, esta entrada de la Wikipedia en fracciones de Cálculo. Como mencioné en un comentario anterior; hay ocho "relacionados de" mensajes acerca de las fracciones de cálculo.
De hecho, el fin de un derivado de la necesidad de no estar en $\mathbb N$. Racional órdenes de un derivado de existir, mientras estaban de sospechar en tu post.
E incluso los números irracionales puede ser una orden de un derivado.
md2perpe
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Otra forma de definir fraccional derivados
Recordemos que la función exponencial $e^{ax}$ es muy fácil derivar: $$\frac{d^n}{dx^n} e^{ax} = a^n e^{ax}$$
Suponga que $f$ puede ser escrita como una suma o una integral de exponenciales (yo aquí sólo para ir a por la integral de caso): $$f(x) = \int a(\xi) e^{c \xi x} \, d\xi$$
Tomando ordinarios derivados y suponiendo que los derivados pueden ser movidos dentro de la integral, a continuación, da $$f^{(n)}(x) = \int a(\xi) (c\xi)^n e^{c \xi x} \, d\xi$$
Esta fórmula directamente generaliza fraccional $n$.
Ejemplo
Probablemente usted no ha oído hablar de él todavía, pero hay algo que se llama la transformada de Fourier. Puede ser pensado como la división de una función en frecuencias (usando $e^{i \omega t}$): $$f(t) = \int \hat f(\omega) e^{i \omega t} \, d\omega$$ Los derivados, a continuación, convertirse en $$f^{(n)}(t) = \int (i\omega)^n \hat f(\omega) e^{i \omega t} \, d\omega$$ Hay algunos aspectos técnicos de la definición de las $i^n$ racional,$n$, pero los problemas se pueden superar.
