El límite de $a_1^{a_2^{.^{.^{.^{a_n}}}}}-a_n^{a_{n-1}^{.^{.^{.^{a_1}}}}}$ $n\to\infty$.

Question

Si se trata de un duplicado de cualquier manera, lo siento.

La pregunta:

Qué $(a_i)_{i\in \Bbb N}\in \Bbb R_+^{\Bbb N}$ hace

$$L:=\lim_{n\to \infty}a_1^{a_2^{.^{.^{.^{a_n}}}}}-a_n^{a_{n-1}^{.^{.^{.^{a_1}}}}}$$

existen y qué valores tiene $L$?

Pensamientos:

Por supuesto, $L$ existe y sería $0$ cuando $a_i=1$ % todos $i\in\Bbb N$. También $L=1$ si a_i $$ =\begin{cases} 2 &: i=1 \\ 1 &: i\neq 1. \end{casos} $$

Answer 1

Esta es una respuesta parcial, frente a lo que el valor de $L$ puede tomar. Resulta $L$ puede tomar cualquier número real como valor.

Para la simplicidad de la composición, voy a utilizar Knuth de la flecha hacia arriba notación para representar cualquier torre de exponenciación. Además, vamos a suponer que las flechas son de derecho asociativo. Más precisamente,

$$a_1 \uparrow a_2 \uparrow \cdots \uparrow a_n \;=\; a_1 \uparrow \left( a_2 \uparrow \left(\cdots \uparrow a_n\right)\right) \;\stackrel{def}{=}\;a_1^{a_2^{.^{.^{.^{a_n}}}}} $$

Para cualquier $z \in \mathbb{R}$, reescribir $z$ $x-y$ algunos $x, y > 0$. Deje $(y_k)_{k \ge 0}$ ser cualquier secuencia de números positivos tal que $y_0 = 1$$y_n \to y$$n \to \infty$. Considerar la secuencia de $(a_k)_{k > 0}$ definido por

$$a_1 = x,\quad a_2 = 1\quad\text{and}\quad a_{n+2} = y_{n}^{1/y_{n-1}}\quad\text{for}\quad n > 0 $$

Es fácil ver por cualquier $n > 0$,

$$a_1 \uparrow a_2 \uparrow \cdots \uparrow a_{n+2} = x \uparrow ( 1 \uparrow ( \cdots ) ) = x \uparrow 1 = x$$ Además, $$\begin{align} a_{n+2} \uparrow \cdots \uparrow a_5 \uparrow a_4 \uparrow a_3 \uparrow a_2 \uparrow a_1 &= y_n^{1/y_{n-1}} \uparrow \cdots \uparrow y_3^{1/y_2} \uparrow y_2^{1/y_1}\uparrow y_1^{1/y_0} \uparrow 1 \uparrow x\\ &= y_n^{1/y_{n-1}} \uparrow \cdots \uparrow y_3^{1/y_2} \uparrow y_2^{1/y_1}\uparrow y_1 \uparrow 1 \\ &= y_n^{1/y_{n-1}} \uparrow \cdots \uparrow y_3^{1/y_2} \uparrow y_2^{1/y_1}\uparrow y_1 \\ &= y_n^{1/y_{n-1}} \uparrow \cdots \uparrow y_3^{1/y_2} \uparrow y_2 \\ &\;\;\vdots\\ &= y_n \end{align} $$ Para esta elección particular de $a_k$, tenemos $$L = \lim_{n\to\infty} \left( a_1 \uparrow a_2 \uparrow \cdots \uparrow a_{n+2} - a_{n+2} \uparrow a_{n+1} \uparrow \cdots \uparrow a_1 \right) = \lim_{n\to\infty} (x - y_n) = x - y = z$$ A partir de esto, podemos concluir $L$ puede tomar cualquier número real como valor.