¿Dónde se esconde la topología de este teorema en funciones enteras?

Question

No hay un estándar teorema que dice que si $f$ es analítica en todo el plano complejo y nunca de cero, entonces tiene la forma $e^g$ donde $g$ es analítica en todo el plano; es decir, podemos definir una función de $\log f$ que es analítica en todo el plano y satisface $f=e^{\log f}$. El argumento es sencillo: $f$ es todo y nunca de cero, por lo $f'/f$ es todo, por lo $g(z)=\int_0^z f'(\zeta)d\zeta/f(\zeta)$ está bien definido y completo y, a continuación, el cálculo muestra que $fe^{-g}$ tiene derivada cero, por lo que es constante, por lo $f$ es una constante en varios de $e^g$, y el constante puede ser absorbido en $g$.

El argumento no hace mención de la topología de la situación, y esto me molesta un poco. Por el Pequeño teorema de Picard, la imagen de $f$ es todo el plano complejo menos cero. En general, por supuesto, un continuo de un solo valor de la rama de $\log$ no pueden ser definidos en este conjunto. Es por eso que la prueba implicó la integral de la derivada logarítmica de $f$, en lugar de sólo la composición de $f$ con la rama derecha de $\log$. Dicho esto, si se obtuvo una función diferente a $h$ escogiendo alguna rama de $\log$ definido en $\mathbb{C}$ menos de ray desde el origen (llamar a este conjunto de $S$) y, a continuación, la definición de $h(z)=\log f(z)$$f^{-1}(S)$, luego de curso $h$ satisfacer $f=e^h$ donde se define y, a continuación,$1=e^{h-g}$, de modo que en cada componente de $f^{-1}(S)$, ya que el $h,g$ se definen y continuo que debe difieren por una constante múltiples de $2\pi i$. Si me permito utilizar una rama diferente de $\log$ para cada componente de $f^{-1}(S)$, yo podría acabar con $h$ exactamente igualando $g$ y, por tanto, siendo prorrogable por continuidad a todos los de $\mathbb{C}$. Lo que esto representa es que tengo la fuerte sensación de que el teorema (a pesar de la facilidad de cálculo basado en la prueba) tiene algunos trivial topológico contenido y estoy tratando de aislar a este contenido.

En este punto, originalmente iba a pedir para ayudar a aislar el topológica de contenido. Pero en el transcurso de redactar la pregunta, yo creo que puede haber respondido. Así, lo siguiente es lo que yo creo que para ser una alternativa a la prueba de los resultado original que hace que el topológica de contenido explícito. Mi pregunta es ahora, es la siguiente prueba de la correcta? Yo también estaría interesado en sus pensamientos acerca de (soft-pregunta) donde es la topología de la ocultación en el original de la prueba?

Teorema: Si $f$ es todo y nunca cero tiene la forma $f=e^g$ $g$ todo.

Prueba: Supongamos $f$ ser toda una función que nunca es cero. A continuación, $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\setminus\{0\}$ es continuo, de modo que induce un homomorphism $f_*:\pi_1(\mathbb{C})\rightarrow\pi_1(\mathbb{C}\setminus\{0\})$, lo cual es trivial debido a que $\mathbb{C}$ es simplemente conectado. Por lo tanto, $f$ levanta a una función continua $\hat{f}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}\setminus{0}$'s de la universalización de la cobertura $U$. Pero $U$ es la superficie de Riemann de la $\log$ función; en particular, el logaritmo es bien definido y de un solo valor en $U$; así que vamos a $g=\log \hat{f}$; y, a continuación, $g$ es tal que $f=e^g$. $\hat{f}$ es realmente holomorphic a $U$, por lo que el $g$, así definida, es todo.

EDIT: Cuando escribí esto una prueba de que yo era un poco incómodo hablar de $\hat{f}$ holomorphic a $U$ y el registro holomorphic en $U$, ya que mi comprensión de cubrir el espacio de la teoría es estrictamente topológico. Posteriormente me di cuenta de que en realidad podemos tomar $U$$\mathbb{C}$, con la cubierta mapa dado por $z\mapsto e^z$, y luego el "logaritmo en $U$" es sólo la identidad en $\mathbb{C}$. Creo que el argumento pasa a través de, pero puede ser aún más corto:

Por el levantamiento teorema, cualquier función de $f$ más que simplemente conectado dominio a $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ cuenta con un ascensor, $\hat{f}$ $\mathbb{C}\setminus{0}$'s de la universalización de la cobertura, $\mathbb{C}$, que los factores a través de la cobertura de mapa de $z\mapsto e^z$. A continuación, $f=e^{\hat{f}}$ $\hat{f}$ es el deseado $g$. Desde la cubierta del mapa es holomorphic, $f$ $\hat{f}$ son simultáneamente holomorphic. Hecho!

Gracias a Jonas Meyer para destacar que la característica clave del argumento original es también la simple interrelación del dominio, sobre los que descansa la invocación de Cauchy teorema de mostrar la integral está bien definido.

Answer 1

Donde es la topología de la ocultación en el original de la prueba?

Se esconde en la frase "está bien definido," o, de manera equivalente, en del teorema de Cauchy. En un dominio que no es simplemente conexa, esta "definición" de $g$ en general depende de la ruta tomada desde el punto de base para $z$. (Por ejemplo, si hay singularidades aisladas, a continuación, diferentes caminos podría viento alrededor de las singularidades de manera diferente y recoger los residuos.) El bien definedness depende del teorema de Cauchy para simplemente conectado dominios.