¿Es el sistema orthonormal de fourier especial? ¿Si elegí algún sistema de orthonormal arbitraria, podía esperar para la convergencia de pointwise para funciones bien?

Question

Como dice el título, me gustaría entender y intution de fourier expanstion convergentes pointwise de funciones interesantes.

En particular, podría comenzar por preguntar con qué frecuencia (por supuesto, esto no está bien definido), cuando cojo un ortonormales sistema con respecto a la habitual integral interior del producto, da pointwise convergencia de funciones interesantes.

Vamos a definir funciones interesantes como analítica (por supuesto que va a ser mucho happer si las cosas se mantenga por sólo diffrentiable funciones, por ejemplo).

No estoy seguro de cómo definir una arbtiary ortonormales sistema, así que os dejo esto abierto para que la contestadora que es más sabio que yo.

Gracias

Answer 1

Esta es una pregunta muy interesante. En primer lugar, no es en absoluto evidente cómo (o si es posible) para ampliar la relativamente elemental de Fourier de Dirichlet resultado en pointwise convergencia general de sistemas ortonormales (vamos a decir, incluso para el (la más simple, "no-singular") Sturm-Liouville problemas con suave coeficientes). Sí, por supuesto, el $L^2$ convergencia es el punto principal, y para con fines utilitarios no muchas personas preguntan más. Y, sí, todo el mundo se imagina que por muy suave funciones, el espectral de expansión en términos de las funciones propias deben converger pointwise, etc.

No puede ser tan simple, por desgracia,/es bastante interesante. Por ejemplo, las funciones propias para el problema de Dirichlet $u''=\lambda u$$u(0)=0=u(2\pi)$$\sin(nx/2)$. Por supuesto, cosas como la constante de la función $1$ están en los $L^2$ de intervalo. Pero eso $L^2$ expansión no es posible que convergen pointwise a $1$, debido a $1$ es sólo $1$, en los extremos, mientras que todas las funciones propias son $0$ no.

Sí, esta falla puede ser visto como esencialmente irrelevante. Y, de hecho, para las funciones en el correspondiente $H^1$ espacio de Sobolev (que se adjunta para el operador + condiciones de contorno), ya que hemos Sobolev involucración $H^1\subset C^o$, la convergencia es en $C^o$.

Pero, aún así, las funciones propias de sí mismos son sólo en $H^1$, no $H^\infty$. Así que inevitablemente habrá problemas... es comprensible que, en los extremos, pero que tales problemas se propagan en espectral de las expansiones (por las mismas razones que las transformadas de Fourier de intercambio local suavidad y global de caries).

Answer 2

Un conjunto ortogonal $\mathbf A $ en un producto interior el espacio es uno de esos que para todos los distintos $ x,y \in \mathbf A $,$\langle\,x,y\rangle = 0$. Un conjunto ortogonal $\mathbf A $ se llama ortonormales siempre tenemos $\lVert x\rVert = 1$ todos los $x \in A$. Además, un othonormal conjunto es llamado completa (o una base ortonormales) cuando no está contenido en otro ortonormales conjunto. Usando el Lema de Zorn, se puede extender cualquier ortonormales conjunto completo ortonormales conjunto. En cualquier espacio de Hilbert, como la de la plaza de funciones integrables $L^2[\pi,-\pi]$ sobre un intervalo cerrado en el que hacemos ordinario de análisis de Fourier, nos puede dar una expansión de cualquier punto en términos de cualquier ortonormales completos conjunto. En particular, si $A=\{a_1, a_2, a_3...\}$ es una completa ortonormales y si $x$ es cualquier punto tenemos $x =\sum_{i=1}^\infty \langle x,a_i \rangle a_i $.