Para cualquier $x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n$$\alpha \in \mathbb{R}$, vamos
$$\Delta_\alpha(x) = \sum\limits_{1\le i < j\le n}(x_i - x_j)^\alpha$$
Para otras funciones que $\Delta_\alpha(x)$ y coordinar los índices de $x_k$, utilizaremos el subíndice para indicar de primer orden en derivadas parciales. es decir, para todos los demás función de $p(x)$,
$$p_k(x) \stackrel{def}{=} (\partial_k p)(x) \stackrel{def}{=}\frac{\partial p(x)}{\partial x_k}$$
La pregunta a la mano puede ser reformulada como:
Al $x$ varia $\mathbb{R}^n$, ¿cuál es el valor mínimo de la función
$$U(x) = \Delta_2(x) + \Delta_{-2}(x)$$
Desde $U(x)$ es invariante bajo la traducción, es fácil ver el valor mínimo de $U(x)$ $\mathbb{R}^n$ es igual a el valor mínimo de una función
$$V(x) = U(x) + \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 = n\sum_{k=1}^n x_k^2 + \Delta_{-2}(x)$$
Deje $M_n$ ser el común mínimo valor de estas dos funciones. Voy a
espectáculo para $n > 1$,
$$M_n \stackrel{def}{=} \min_{x\in\mathbb{R}^n} U(x) = \min_{x\in\mathbb{R}^n} V(x) \;\ge\; \frac{n(n-1)}{2}\sqrt{2n}$$
Deje $X \subset C^{\infty}_c(\mathbb{R})$ ser la colección de las funciones lisas en $\mathbb{R}^n$ con soporte compacto tal que para algunos $\delta > 0$, la función se desvanece de forma idéntica cada vez que cualquier $|x_i - x_j| < \delta$.
Para cualquier normalizado $f \in X$, es decir,$\int f^2 dx = 1$, vamos a $\Lambda(f)$ ser cuadráticas siguientes funcional:
$$\Lambda(f) \stackrel{def}{=}
\int \left[ \sum_{k=1}^n \left( \frac12 f_k^2 + \frac12\omega^2x_k^2 f^2 \right) + g^2\Delta_{-2} f^2 \right] dx\etiqueta{*1}
$$
donde $\omega, g > 0$ son parámetros a ser modificado. Definir dos funciones de auxiliar
$$\phi(x) = \sum_{1\le i < j \le n}\log|x_i - x_j|
\quad\text{ y }\quad
\Phi(x) = -\frac{\omega}{2}\sum_{k=1}^n x_k^2 + \lambda \phi(x)
$$
donde $\lambda$ es otro parámetro que se fija más tarde.
Desde $f(x)$ se desvanece cuando cualquiera de los $|x_i-x_j|$ es lo suficientemente pequeño,
$h = f e^{-\Phi}$ también pertenece a $X$.
En términos de $h$, tenemos
$$\begin{align}
\Lambda(f)
&=
\int \left\{ \sum_{k=1}^n \left[\frac12\left(h_k+ \Phi_k h\right)^2 + \frac12\omega^2x_k^2 h^2 \right] + g^2\Delta_{-2} h^2 \right\} e^{2\Phi} dx\\
&=
\int \left\{ \sum_{k=1}^n \left[\frac12 h_k^2 + h_k \Phi_k h + \frac12( \omega^2x_k^2 + \Phi_k^2) h^2 \right] + g^2\Delta_{-2} h^2 \right\} e^{2\Phi} dx\\
&=
\int \left\{ \sum_{k=1}^n \left[\frac12 h_k^2 - \frac{h^2}{2} e^{-2\Phi}\partial_k( e^{2\Phi} \Phi_k ) + \frac{h^2}{2}( \omega^2x_k^2 + \Phi_k^2)\right] + g^2\Delta_{-2} h^2 \right\} e^{2\Phi} dx\\
&=
\int \left\{ \sum_{k=1}^n \left[\frac12 h_k^2 - \frac{h^2}{2} \partial_k( \Phi_k ) + \frac{h^2}{2}( \omega^2x_k^2 - \Phi_k^2) \right] + g^2\Delta_{-2} h^2 \right\} e^{2\Phi} dx
\end{align}
$$
El uso de las siguientes identidades algebraicas
$$\sum_{k=1}^n (\partial_k \phi)^2 = -\sum_{k=1}^n \partial_k^2 \phi = 2\Delta_{-2}\quad\text{ y }\quad
\sum_{k=1}^n x_k (\partial_k \phi) = \frac{n(n-1)}{2}
$$
Nos encontramos
$$\begin{align}
-\sum_{k=1}^n(\partial_k \Phi_k)
&= \omega n - \lambda \sum_{k=1}^n\partial_k^2\phi = \omega n + 2\lambda \Delta_{-2}\\
\sum_{k=1}^n\left(\omega^2 x_k^2 - \Phi_k^2\right)
&=\sum_{k=1}^n\lambda\phi_k(2\omega x_k - \lambda \phi_k)
= \lambda\omega n(n-1) - 2\lambda^2 \Delta_{-2}
\end{align}
$$
Al$g^2 = \lambda(\lambda - 1) \iff \lambda = \frac12\left(1+\sqrt{1+4g^2}\right)$, $\Delta_{-2}$ términos se anulan.
Sobre el lío que se simplifica a
$$\Lambda(f)
= \int \left\{ \sum_{k=1}^n \left[\frac12 h_k^2 + \frac{h^2}{2} (\omega n + \lambda \omega n(n-1))\right]\right\} e^{2\Phi} dx
\ge \frac{\omega n}{2}\left( 1 + \lambda(n-1)\right)
$$
Set $\omega = \sqrt{2n}L$ $g = L$ y enviar$L$$+\infty$, obtenemos:
$$\begin{align}\int V(x)f(x)^2 dx
= \lim_{L\to\infty} \frac{\Lambda(f)}{L^2}
&\ge \lim_{L\to\infty} \frac{\sqrt{2n}n}{2L}\left( 1 + \frac12\left(1+\sqrt{1+4L^2}\right)(n-1)\right)\\
&= \frac{n(n-1)}{2}\sqrt{2n}
\end{align}
$$
Para cualquier $\epsilon > 0$, elija una $f$ tal que $f(x)$ se desvanece cuando $V(x) \ge M_n + \epsilon$, nos encontramos con
$$M_n + \epsilon \ge \int V(x) f(x)^2 dx \ge \frac{n(n-1)}{2}\sqrt{2n}$$
Desde $\epsilon$ pueden ser arbitrariamente pequeño, se puede deducir
$$M_n = \min_{x\in\mathbb{R}^n} U(x) = \min_{x\in\mathbb{R}^n} V(x) \ge\frac{n(n-1)}{2}\sqrt{2n}$$
En lugar de un límite inferior, $M_n$ es igual a $\frac{n(n-1)}{2}\sqrt{2n}$.
En $1971$, F. Calogero ha estudiado cuántico unidimensional $N$-problema de cuerpo${}^{\color{blue}{[1]}}$.
El Hamiltoniano tiene la forma:
$$
H = -\frac{\manejadores^2}{2m}\sum_{i=1}^N \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}
+ \sum_{i=2}^N\sum_{j=1}^{i-1}\left\{
\frac14 m\omega^2(x_i-x_j)^2+g(x_i-x_j)^{-2}\right\}
$$
Él encontró que el modelo es exactamente solucionable con los niveles de energía de la forma
$$E_{2n+k} = \manejadores\omega\sqrt{\frac{N}{2}}\left[
\frac12(N-1)+\frac12 N(N-1)(a+\frac12) + 2n+k
\right]$$
donde$n = 0,1,2,\ldots, k = 0,1,2,\ldots$$a = \frac12\sqrt{1 + 4mg\hbar^{-2}}$.
Si un conjunto $m = g = 1, \omega = 2$ y tomar el límite clásico (es decir,$\hbar \to 0$), la planta de energía del estado del sistema convergen al mínimo el potencial de $U(x)$. Al final, uno encontrará $M_N = \frac{N(N-1)}{2}\sqrt{2N}$.
Cuando estoy haciendo una búsqueda en la literatura sobre este tema, me viene a través de una declaración
ese mínimo de $V(x)$ se consigue en las posiciones proporcionales a las raíces de los polinomios de Hermite. No puedo encontrar la expresión exacta de $x_i$, lo que minimiza $V(x)$. Sin embargo, por la coincidencia de las raíces de los polinomios de Hermite y los resultados de mi simulación, $V(x)$ debe ser minimizado en las raíces de $H_n(\sqrt[4]{2n}x)$ donde
$$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} = \left(2x-\frac{d}{dx}\right)^n \cdot 1$$
es el físico de los polinomios de Hermite de orden $n$.
Referencias
- $\color{blue}{[1]}$ F. Calogero,
La solución de la unidimensional de N‐cuerpos, Problemas con Cuadrática y/o a la Inversa Cuadrática Par Potenciales,
Diario de la Física Matemática 12, 419 (1971)
