Un problema extremo restringido

Question

Encuentre el máximo valor posible de $$A = a^{333} + b^{333}+c^{333}$$ con sujeción a las restricciones $$a+b+c=0$$ y $$a^2+b^2+c^2=1,$$ donde $a,b,c\in \mathbb{R}$

Gracias por ayudarme.

Answer 1

En contra de mis expectativas iniciales, me parece que los multiplicadores de Lagrange funcionan bien esta vez.

La solución funciona para todos los exponentes $n\ge3$ , $n$ impar. Aquí $n=333$ . En un punto crítico tenemos la ecuación vectorial $$ \nabla(a^n+b^n+c^n)=\lambda_1\nabla (a^2+b^2+c^2-1)+\lambda_2\nabla(a+b+c). $$ Vemos que $a,b,c$ son ceros del polinomio $$ P(x)=nx^{n-1}-2\lambda_1x-\lambda_2, $$ porque la ecuación vectorial de gradientes anterior se simplifica a $$ (P(a),P(b),P(c))=(0,0,0). $$ Aquí el gráfico $y=nx^{n-1}$ es convexa (la segunda derivada es no negativa en todas partes, y desaparece sólo en un punto aislado). Por lo tanto, puede intersecar la línea $y=2\lambda_1x+\lambda_2$ como máximo en dos puntos distintos. Independientemente de los valores de $\lambda_1$ y $\lambda_2$ .

Como $P(x)=0$ tiene sólo dos soluciones reales, podemos concluir que en un punto crítico $a,b,c$ no pueden ser todos distintos. Esto nos permite encontrar los puntos críticos. Por ejemplo, si $b=c$ obtenemos de las restricciones primero las ecuaciones $$ a+b+c=a+2b=0\qquad\text{and}\qquad a^2+b^2+c^2=a^2+2b^2=1. $$ Entonces, resolviendo $a=-2b$ de la primera y conectarla a la segunda que $$ 1=a^2+2b^2=(-2a)^2+2b^2=6b^2\implies b=\pm1/\sqrt6. $$ Sustituyendo hacia atrás y teniendo en cuenta el papel simétrico de las variables $a,b,c$ vemos que los puntos críticos son permutaciones cíclicas de $(a,b,c)=(2,-1,-1)/\sqrt6$ y $(a,b,c)=(-2,1,1)/\sqrt6.$ Nota: ¡no hemos verificado que todos estos puntos sean realmente críticos! Podríamos hacerlo fácilmente, pero vamos a omitirlo, porque para encontrar los valores extremos basta con tener un pequeño conjunto de puntos candidatos.

Es fácil verificar (calcular los valores de $A$ ) que el primer conjunto de tres puntos son los máximos, y el segundo conjunto los mínimos.

La respuesta a la pregunta original es, pues, que el valor máximo de $A$ es $$ A(2/\sqrt6,-1/\sqrt6,-1/\sqrt6)=\frac{2^{333}-2}{6^{166}\sqrt6}. $$

Answer 2

dejar $A_{n}=a^n+b^n+c^n$ entonces tenemos $$A_{n+3}=(a+b+c)A_{n+2}-(ab+bc+ac)A_{n+1}+abcA_{n}$$ y $$ab+bc+ac=-\dfrac{1}{2}$$ así que $$A_{n+3}=\dfrac{1}{2}A_{n+1}+abcA_{n}$$

y utilizar $$a+b+c=0,\Longrightarrow A_{3}=a^3+b^3+c^3=3abc$$ y $$A_{1}=0,A_{2}=1,A_{3}=3abc$$ así que $$A_{4}=\dfrac{1}{2}A_{2}+abcA_{1}=\dfrac{1}{2}$$ $$A_{5}=\dfrac{1}{2}A_{3}+abcA_{2}=\dfrac{3}{2}abc+abc=\dfrac{5}{2}abc$$ $$A_{6}=\dfrac{1}{2}A_{4}+abcA_{3}=\dfrac{1}{4}+3(abc)^2$$ $$A_{7}=\dfrac{1}{2}A_{5}+abcA_{4}=\dfrac{5}{4}abc+\dfrac{1}{2}abc=\dfrac{7}{4}abc$$ $$A_{8}=\cdots, A_{9}=\cdots,\cdots$$ $$A_{300}=f(abc)$$

y tenemos $|abc|\le\dfrac{1}{\sqrt{54}}$ ver: $a+b+c =0$ ; $a^2+b^2+c^2=1$ . Demuestra que: $a^2 b^2 c^2 \le \frac{1}{54}$

Answer 3

$a+b+c=0$ Así que al menos dos de $a,b,c$ tienen el mismo signo, WLOG, que $bc \ge 0 $

$A=a^{333}+b^{333}+c^{333} = (-b-c)^{333}+b^{333}+c^{333}=- \sum_{i=1} ^{332} C_i b^{333-i}c^i$ ,

Queremos $A$ es máxima, por lo que b,c debe ser negativa, ,dejemos $x=-b,y=-c $ , $ \to x \ge 0,y \ge 0, xy \le \dfrac{1}{6}, x+y=\sqrt{\dfrac{1}{2}+xy} $

$ A=(x+y)^{333}-(x^{333}+y^{333}) \le \left(\dfrac{1}{2}+xy \right)^{\frac{333}{2}}-2(xy)^{\frac{333}{2}} $

$f(t)=\left(\dfrac{1}{2}+t \right)^k-2t^k$ demostraremos que $f(t)$ es una función monocreciente cuando $ 0 \le t \le \dfrac{1}{6} , k >3$ :

$f'(t)=k\left[ \left(\dfrac{1}{2}+t \right)^{k-1}-2t^{k-1} \right]$ , $f'(t)>0 \iff \left(\dfrac{1}{2}+t \right)^{k-1}-2t^{k-1} >0 \iff \left(\dfrac{1}{2}+t \right)^{k-1}>2t^{k-1} \iff \left(\dfrac{1}{2}+t \right) > 2^{\frac{1}{k-1}}t \iff \dfrac{1}{2}> (p-1)t , p=2^{\frac{1}{k-1}} , 1<p<2, $

así que lo último es cierto, $f'(t)>0 \implies A_{max}=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6} \right)^{\frac{333}{2}}-2(\dfrac{1}{6})^{\frac{333}{2}}=\left(\dfrac{4}{6} \right)^{\frac{333}{2}}-2(\dfrac{1}{6})^{\frac{333}{2}}=\dfrac{2^{333}-2}{6^{166}\sqrt{6}}$ , el máximo se mantendrá cuando $x=y,xy=\dfrac{1}{6} \to x=y=\dfrac{1}{\sqrt{6}} \to b=c=-\dfrac{1}{\sqrt{6}}, a= \dfrac{2}{\sqrt{6}}$