He estado estudiando la ecuación diferencial, en particular de funciones especiales.
Euler de la función Gamma, y de Gauss función Pi son esencialmente las mismas, diferenciándose sólo por un desplazamiento de una unidad.
para $z\in\mathbb C,\qquad {\frak R} (z)>0$
$$\Gamma(z)=\int\limits_0^\infty x^{z-1}e^{-x}\,\mathrm dx$$
$$\Pi(z)=\Gamma(z+1)=\int\limits_0^\infty x^ze^{-x}\,\mathrm dx$$
Extender el concepto de factorial (que sólo está definida para los números enteros positivos).
$$\Gamma(z+1)=\Pi(z)=z!,\qquad z\in\mathbb Z \geq0$$
La función Pi parece ser una más análogo natural del factorial (It doesnt introducir la unidad de desplazamiento). Mi libro de texto se usa exclusivamente en la función Gamma, y doesnt mencionar la función Pi. Me preguntaba si hay buenas razones para centrarse en la función Gamma (presumiblemente hace algunos cálculos más simples, más abajo de la línea).
La mejor razón que se me ocurre por mi cuenta es que para calcular transformadas de Laplace
$$\mathcal L\big\{ t^r\big\}=\frac{\Pi(r)}{s^{r+1}}=\frac{\Gamma(r+1)}{s^{r+1}},\qquad r\geq-1 \in\mathbb R$$ El uso de la función Gamma aquí conserva cierta simetría. No estoy seguro de que este es el motivo o si hay algunas sutilezas estoy completamente ausente.
