Por favor, ayúdenme con la siguiente pregunta. Gracias. Sabemos que $D$ es un número entero positivo, no un cuadrado. Dejamos que $k$ sea cualquier número entero positivo. Tenemos que demostrar que la ecuación $x^2 - D y^2 = 1$ tiene infinitas soluciones con $k$ dividiendo $y$ . ¡Se agradece cualquier ayuda! Gracias.
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Mark
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Definir dos secuencias de polinomios $$f_0 = 2, f_1 = X, f_n = X f_{n-1} - f_{n-2},$$ $$g_0 = 0, g_1 = 1, g_n = X g_{n-1} - g_{n-2}.$$ Si $(X,Y)$ satisface $X^2 - D Y^2 = 4$ entonces también lo hace $(f_n(X), Y \cdot g_n(X))$ para todos los enteros posesivos $n$ . Esto se aplica a $x^2 - D y^2 = 1$ dejando $X = 2 x$ y $Y = 2 y$ . Supongamos que $k$ divide $y$ . Entonces $k$ divide $y$ para cada $n > 0$ . Esto complementa la excelente respuesta de Aryabhata mostrando una forma en la que podemos obtener infinitas soluciones a partir de una.
