¿Forma incondicional alternativa de $\sqrt{n -\sqrt{n -\sqrt{n -\cdots}}}$?

Question

Considera $a_n$, donde

$$\begin{align} a_n &=\small{\sqrt{n -\!\!\!\sqrt{n -\!\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\sqrt{n - \cdots}}}}}}}}\end{align}$$

Usar una solución recursiva, tal que:

$$a_n = f(n) = \sqrt{n - f(n)}$$

es demasiado lento, mientras que una forma iterada no se ajusta a mi uso.

¿Hay una forma incondicional de $a_n$ que no dependa tanto de la autoreferencia o recursión? ¿Tal vez una aproximación?

Answer 1

$a_n =\small{\sqrt{n -\!\!\!\sqrt{n -\!\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\sqrt{n - \cdots}}}}}}}}$

$a_n^2 =\small{n -\!\!\!\sqrt{n -\!\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\sqrt{n - \cdots}}}}}}}$

$a_n^2 -n =\small{ -\!\!\!\sqrt{n -\!\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\!\sqrt{n -\!\sqrt{n - \cdots}}}}}}}$

$a_n^2 -n =-a_n$

$a_n^2+a_n -n =0

Usando la fórmula cuadrática para la raíz positiva.

$a_n=\dfrac{-1+\sqrt{1+4n}}{2}$

Answer 2

$$a_n=\sqrt{n-a_n}\implies a_n^2 = n-a_n \implies a_n^2+a_n-n = 0 \implies a_n\in\left\{\frac12\left(-1\pm\sqrt{1+4n}\right)\right\}$$ Dado que $a_n$ es positivo, tenemos entonces $$a_n =\frac{\sqrt{4n+1}-1}{2}$$