¿Por qué $x^{x^{x^{\dots}}}=2$ y $x^{x^{x^{\dots}}}=4$ tienen la misma raíz positiva $\sqrt 2$?

Question

¿Qué es $x$ cuando es cumple $x^{x^{x^{\dots}}}=2$?

Estoy realmente confundida con esto; la raíz es $\sqrt{2}$, pero ¿por qué la ecuación $x^{x^{x^{\dots}}}=4$ tiene la misma raíz?

Answer 1

Primero vamos a empezar con la definición de lo que queremos decir con la expresión $a = x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$: el infinito poder de la torre es el límite de la recursividad

$$a_{n+1} = x^{a_n},~~~~~~~ a_0 = x$$

Si $x>1$ $x^x > x$ $a_{n}$ es monótonamente creciente y converge el fib está delimitada por encima (este es el caso sólo si $e^{-e} \leq x \leq e^{\frac{1}{e}}\approx 1.44$; ver, por ejemplo, Wiki:Tetration). Si $x=\sqrt{2}$ luego se sigue por la inducción que $a_n \leq 2$ desde $a_0 = \sqrt{2} < 2$ y

$$a_{n+1} = \sqrt{2}^{a_n} \leq \sqrt{2}^2 = 2$$

Por lo tanto $a_n$ está acotada arriba por $2$ (y la recursividad por lo tanto converge). Tomando el límite de la recursividad tenemos que satsify la ecuación de $a=x^a$. Como usted ha señalado, esta ecuación tiene dos soluciones $a=2$ $a=4$ (que también son la única solución real). Ya que el límite está bien definido sólo una de estas dos soluciones son válidas y desde $a\leq 2$ tenemos que la solución de $a=4$ no describe el límite de la recursión anterior.

¿Por qué hay un extra de solución? Tenga en cuenta que

$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = a \implies a = x^a$$

es una forma de implicación y no es cierto que la $a = x^a \implies \lim\limits_{n\to\infty} a_n = a$. Esto es similar a

$$x=1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$

En este sencillo ejemplo es el cuadrado que introduce un extra de solución. Esto sucede bastante a la hora de manipular ecuaciones: si no todos los pasos son de dos vías implicaciones entonces podríamos introducir extra soluciones y debemos utilizar otros medios para determinar cual de ellos es el derecho a elegir.

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En general, cuando la torre infinita converge el límite está dado por

$$a = -\frac{W(-\log(x))}{\log(x)}$$

donde $W$ es la rama principal de la) Lambert función. El valor máximo (para $x$ donde converge) por $x = e^{\frac{1}{e}}$ donde tenemos $a = e < 4$. Por lo tanto $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} = 4$ no tiene solución en los números reales, por lo que el manipulaciones que hacer para conseguirlo $x = \sqrt{2}$ no están justificados.

Answer 2

(He respondido a esto en una anterior pregunta similar, véase el enlace , el siguiente es un copiar y pegar de allí)

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También se debe considerar, si a usted le gusta escribir mejor $\small x$, $\small _bx $ , $\small _{_b}{_b}x $ ,$\small {_{...} } _{_b}{_b}x $ , porque siempre comenzar la evaluación en la parte superior de la powertower y no en la parte inferior. Y luego también es inequívoca para discutir $\small 2= 2 $, $\small 2 = _\sqrt22 $ , $\small 2= _{_\sqrt2}{_\sqrt2}2 $ y $\small 2= {_{...} } _{_\sqrt2}{_\sqrt2}2 $ tal como se evaluó a partir de la parte superior. A continuación, es también correcta de escribir $\small 4= 4 $, $\small 4 = _\sqrt24 $ , $\small 4= _{_\sqrt2}{_\sqrt2}4 $ y $\small 4= {_{...} } _{_\sqrt2}{_\sqrt2}4 $ como una segunda solución. (Esto es claramente no notación estándar, pero yo realmente no sé por qué esto no se convirtió en estándar)

[añadido] Entonces uno podría también escribir $\small 2= \lim {_{...} } _{_\sqrt2}{_\sqrt2}x \text{ for } -\infty \lt x \lt 4$ a la nota de la convergencia de todos los que los valores iniciales de x, y debido a $\small x=\sqrt2 $ está en el rango podemos decir $\small 2= \lim {_{...} } _{_\sqrt2}{_\sqrt2}\sqrt2 $

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[no en el original respuesta:]

lo mismo ocurre también para cada uno de los infinitos (complejo) fixpoints de la ecuación de $ \sqrt{2}^{z_k}=z_k$
Por ejemplo, $z_2 \approx \small 0.145108802639 - 0.220160521524 î $ es un complejo de punto fijo en un sentido debido a que se ajusta $z_2 = \exp ( (\log(b)-2 \pi î) \cdot z_2)$ donde $b=\sqrt{2}$

Answer 3

Suponiendo que el límite existe, entonces desde el $$x^{x^{x^{\cdots }}} = 2$$ then it follows that $$x^2 = 2$$ which has two solutions: $x = \sqrt{2} $ and $x = - \sqrt{2}$. If you're working over the reals, then you'll want to ignore $-\sqrt{2}$.

Tenga en cuenta que todo esto opera bajo el supuesto de que el límite existe, usted necesita demostrar lo hace antes de que el trabajo anterior es válido.