Valor de

Question

Cómo encontrar el valor de $$1+4\omega+9\omega^{2}+\cdot\cdot\cdot +n ^{2}\omega^{n-1}$$ where $\omega$ is a primitive $n$th root of unity? I am trying to find the value using the fact that $$1+\omega+\omega^{2}+\cdot+\cdot\cdot+\omega^{n-1}=0$$ pero did ' t obtener la respuesta. Por favor, me sugieren cómo solucionarlo. Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: indicar $S(x)=\sum_{k=1}^n x^k$ y calcular el $(S'(x)x)'$.

Answer 2

Siguiendo con la idea sugerida por A. G. puede denotar $$C(x)=\sum_{k=1}^n k^2x^{k-1}$$Note that the desired term is $C(\omega)$. De alguna manera quiero relacionar esto a $$A(x)=\sum_{k=1}^n x^{k-1}$$ of which you know that $Una(x)=\frac{x^n-1}{x-1}$ for $x \ne 1$. El paso intermedio sería $$B(x)=\sum_{k=1}^n kx^{k-1}$$ Ahora, debes tener en cuenta que las relaciones $$(xA(x))'=B(x), (xB(x))'=C(x)$$ Así que es fácil encontrar una forma cerrada para$C(x)$, teniendo el doble de un derivado y, a continuación, encontrar el valor deseado como $C(\omega)$.

Sugerencia: El resultado final debería ser $$\frac{n^2(\omega-1)-2n}{(\omega-1)^2}$$

Edit: voy a presentar una descripción más detallada de la solución: De $A(x)=\frac{x^n-1}{x-1}$ $B(x)=(xA(x))'$ usted obtener fácilmente $$B(x)=\frac{nx^n(x-1)-x^n+1}{(x-1)^2}$$ Ahora, el uso de este y $C(x)=(xB(x))'$ obtener $$C(x)=\frac{n^2x^n(x-1)^2-2nx^n(x-1)+(x+1)(x^n-1)}{(x-1)^3}$$ Ahora, conectar $x=\omega$ y el uso de $\omega^n=1$ obtenemos $$C(\omega)=\frac{n^2(\omega-1)-2n}{(\omega-1)^2}$$

Answer 3

Si multiplicas esto por $1-w$, los coeficientes cuadrados ser 1,3,5,7.
Si multiplicas por el $(1-w)^2$ en su lugar, se convierten en $1,2,2,2,....$
Si multiplicas por el $(1-w)^3$, la mayoría de ellos desaparece.
Algunos coeficientes al final permanecen ($w^n$) quedan cerca.