¿Por qué estas tres líneas son concurrentes?

Question

Considere un triángulo $ABC$ con incentre $I$ y deje $AI \cap BC=D$. Deje que el incentres de $\triangle ACD$ $\triangle ABD$ $E$ $F$ respectivamente.

Demostrar que $AD$, $BE$ y $CF$ son concurrentes.

Esto es parte de un problema más grande que yo estoy tratando de resolver, y mientras se trabaja en ella me di cuenta de que esto parecía cierto que, tanto por mi esquema y en una (especie de) nivel intuitivo.

De hecho, una vez que la coloqué en Geogebra vi esto

Answer 1

Tenga en cuenta que $E$ $I$ ambos se encuentran en la bisectriz de $\angle C$, por lo que $C$, $E$ y $I$ son colineales. Del mismo modo $B$, $F$ y $I$ son colineales.

Desde $F$ se encuentra en la bisectriz de un ángulo de ángulo de $\angle BAI$, $\frac{|BF|}{|FI|} = \frac{|AB|}{|AI|}$ por el teorema de la bisectriz de un ángulo. De la misma manera, tenemos $\frac{|IE|}{|EC|} = \frac{|AI|}{|AC|}$. Por el teorema de la bisectriz de un ángulo en $\triangle ABC$ tenemos $\frac{|CD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|AB|}$. Esto implica que $$ \frac{|BF|}{|FI|} \frac{|IE|}{|CE|} \frac{|CD|}{|DB|} = \frac{|AB|}{|AI|} \frac{|AI|}{|AC|} \frac{|AC|}{|AB|} = 1. $$ Desde $D$, $E$ y $F$ yacen en el interior de los lados del triángulo $\triangle BIC$, del teorema de Ceva ahora implica que $BE$, $CF$ y $DI$ son concurrentes.