¿Descripción categórica de la relación de equivalencia generada por una relación?

Question

La noción de una relación de equivalencia de una relación es extenso y útil. ¿Cómo puede uno categóricamente describirlo?

Answer 1

Una relación binaria $R$ sobre un conjunto $X$ es un subconjunto de a $X\times X$, representado categóricamente por un monomorphism $R\to X\times X$. Por la definición categórica de productos, que equivale a un (conjuntamente monic) par de morfismos $R\to X$. Tomar la coequalizer $p:X\to Q$ de ese par. A continuación, tomar el kernel par de $p$ (es decir, la retirada de $p$ a lo largo de sí mismo). Que un par de morfismos $E\to X$, así que usted puede combinarlos para constituir un morfismos $E\to X\times X$. Que morfismos es monic, y el binario de la relación en $X$ que representa es la relación de equivalencia generada por el original $R$.

Answer 2

Usted podría considerar la categoría de ${\mathscr C}$ de los conjuntos que vienen equipados con una relación, y con morfismos en ${\mathscr C}$ en relación con la preservación de los mapas de conjuntos. A continuación, el pleno de la subcategoría de conjuntos equipado con una equivalencia de la relación (llamado setoids) es reflexiva en ${\mathscr C}$, con la izquierda adjunto de la inclusión enviar un objeto, $(X,\sim)$ $(X,\simeq)$donde $\simeq$ es la relación de equivalencia generada por $\sim$.