Una ecuación diferencial de segundo orden, $y''=y^{-3}$

Question

El ejercicio está a punto de resolver $y''=1/y^3$ para $y=y(t)$ con valores iniciales $y(0)=1$ y $y'(0)=2$ .

Mis intentos:

1. Lo escribí como una ecuación diferencial de primer orden con $2$ variables introduciendo $x:=y'$ por lo que buscamos (el $y$ -coordenada de) la trayectoria del campo vectorial $(1/y^3, x)$ Podría dibujar algunos vectores y "adivinar" cómo será la solución.

2. Busque la solución en la forma $y=c\,t^\alpha$ . Tengo que $\alpha=1/2$ y $c^4=-4$ es decir $c=\pm1\pm i$ . Sin embargo, supongo, real función se le preguntó.

Supongo que me falta algo que debería saber para resolver una ecuación diferencial de este tipo.

Answer 1

Multiplique $y'$ , $$ y'y''=y^{-3}y'$$ Integrar, $$ \frac 1 2 (y')^2 = -\frac 1 2 y^{-2} + c$$ Utilizando la condición inicial, $$ 2=-\frac 1 2 +c$$ Así $c=\frac 5 2$ . Por lo tanto, tenemos $$(y')^2+y^{-2}=5.$$ Multiplique $y^2$ y sustituir $Y=y^2$ entonces $$\frac {(Y')^2} 4 +1 = 5Y,$$ $$(Y')^2=20Y-4$$ Creo que es fácil partir de aquí.