Que muestran no son simples grupos de orden $p^{k}(p+1)$, prime p

Question

Quiero mostrar que no son simples grupos de orden $p^{k}(p+1)$ donde $k>0$ $p$ es un número primo.

Así que supongamos que hay un grupo. Luego, si nos vamos a $n_{p}$ denotar el número de $p$-subgrupos de Sylow de $G$ tenemos que $n_{p}=p+1$. Ahora dejando $G$ actuar en $Sylow_{P}(G)$ por la conjugación de obtener un grupo de homomorphism $G \rightarrow S_{p+1}$. Desde $G$ es simple, a continuación, cualquiera de las $ker(f)$ es trivial o todos los $G$. Ahora aquí está mi pregunta: suponga $ker(f)=G$ esto implicaría entonces que $G$ tiene un único $p$-subgrupo de Sylow no? pero entonces este subgrupo es normal que se contradice con el hecho de que $G$ es simple. Por lo que el mapa de hecho es inyectiva pero, a continuación, $|G|$ divide $(p+1)!$ que no puede ser.

Básicamente mi pregunta es si mi argumento es correcto, es decir, thta si $ker(f)=g$ implica la existencia de un único $p$-subgrupo de Sylow que implica tales subgrupo es normal en $G$ que no puede ser. En caso de que esto está mal, ¿cómo se puede argumentar que $ker(f)$ no puede ser todo lo $G$?

Gracias

Answer 1

Que son (en su mayoría) correcto. Si ker(f) = G, entonces la imagen de G en el grupo simétrico es la identidad, por lo que G no se mueve cualquiera de sus Sylow p-subgrupos de todo. Sin embargo, el G actúa transitivamente sobre su Sylow p-subgrupos (todos ellos son conjugado) y la identidad no es transitiva, a menos que p+1=1, que es tonto.

Si ker(f) = 1, entonces G se integra en el grupo simétrico de p+1 puntos, por lo que su orden divide a (p+1)!. Esto no es una contradicción cuando k=1.

En efecto, tomando p=2, la no-abelian grupo de orden seis tiene orden p(p+1) y tiene exactamente p+1 Sylow p-subgrupos, y el homomorphism f es inyectiva.

Por supuesto, un grupo de orden p(p+1) no es también simple, pero probablemente por una razón diferente.

Answer 2

"Ahora mi pregunta es: asumir ker (f) = G esto implicaría entonces que G tiene un subgrupo de Sylow de p único no?"

sí, la acción de grupo (conjugación en subgrupos de sylow) es transitiva.