Cada módulo plano finitamente generado sobre un anillo con un número finito de números primos mínimo es proyectivo

Question

Más de un anillo conmutativo $R$, de un número finito de tipo localmente libre (sentido débil) módulo para el que la función de clasificación es localmente constante es proyectiva.

Si nos damos cuenta de que para cada mínima prime $p$ de los anillo, el rango de la función es constante en la adhesión de $p$ en la topología de Zariski (porque si $p\subset q$ el rango en $p$ es igual al rango en $q$) en finitos localmente libre (sentido débil) módulos, a continuación, si el anillo tiene sólo un número finito de mínimo de los números primos, el rango de la función siempre es localmente constante en el plano finito módulos. Estoy en lo cierto ?

Edit 2: en mi comentario contestando el comentario de Ben doy el razonamiento detallado

Estoy pidiendo a esta simple pregunta, porque he leído esta gran respuesta aquí donde un importante papel de Raynaud-Gruson se menciona. Se da entre un montón de generalizaciones de los simples criterios que si $R$ tiene un número finito de primos asociados a continuación, sin ningún otro tipo de hipótesis en $R$ cada f.g. plano de los módulos es en realidad proyectiva. Mi razonamiento anterior parece bastante simple y se pone un poco más resultado general, pero tal vez estoy equivocado ?

Edit: ya que nadie contesta a mi pregunta me cavó alrededor, pero no he podido encontrar ninguna referencia a este simple criterio. Sólo he encontrado los criterios acerca de la finitud de la número de números primos. Es equivalente ? Hay un contraejemplo con un número infinito de embebido de los números primos, pero un número finito de mínima (aislado) de los números primos ?

Edit 3: la respuesta está aquí.

Answer 1

A petición, se me repost de mi MathOverflow la respuesta (c.f. MO/218737). Hay dos preguntas, a saber, si el argumento dado en la pregunta está bien, y si el criterio de verdad es más general que el de Raynaud-Gruson. La respuesta a ambas preguntas es sí. El siguiente se tiene:

Deje $A$ ser un conmutativa con unidad y $M$ plana finitely generadas $A$-módulo. Entonces el rango de la función $\mathrm{Spec}(A)\to\mathbb{N}_0$, $\mathfrak{p}\mapsto \mathrm{rk}_{A_\mathfrak{p}}(M_{\mathfrak{p}})$, es constante en todos los irreductible componentes de $\mathrm{Spec}(A)$. En particular, si $\mathrm{Spec}(A)$ tiene un número finito de máximos irreductible componentes (es decir, si $A$ tiene un número finito de un mínimo de primer ideales), entonces el rango de la función es localmente constante, por lo tanto $M$ es proyectiva.

El (muy bonito y corto) la prueba fue dada por la OP en el texto de la pregunta y en un comentario. (Con los mismos argumentos, uno más se puede generalizar esto a esquemas; véase loc. cit.)

El criterio por el de Raynaud-Gruson requiere un número finito de asociados de los números primos, así que para estar seguro de que el criterio anterior es más general, tenemos un ejemplo de un anillo con un número finito de mínimos, pero infinitamente muchos de ellos asociados primer ideales. El siguiente ejemplo tiene un único mínimo el primer ideal, pero infinitamente muchos de ellos asociados primer ideales. El de la imagen como una línea infinitamente muchos incrustado puntos. (Como $k[x,t]/(t^2,xt)$ ha asociado primos $(t)$, el único mínima, y $(x,t)$, el "punto incrustado".)

Deje $H$ ser el anillo de holomorphic funciones en el complejo de la línea de $\mathbb{C}$ (con coordenadas $z$) y $f\in H$ no trivial de holomorphic función con un número infinito de ceros (por ejemplo, $f(z) = \sin(z)$). Consideramos que el anillo de $A:=H[t]/(t^2,tf)$. Desde $A/(t)\cong H$ es una parte integral de dominio, el ideal de $(t)$ es primo. Por otro lado, este ideal pasa a ser el nilradical de $A$, que es la intersección de todos los primer ideales; por lo tanto, $(t)$ es el mínimo prime. Sin embargo, para cada raíz $\alpha\in\mathbb{C}$ $f$ reconocemos la asociada de primer orden ideal $(t,z-\alpha)\subset A$, por lo que hay infinitamente muchos de ellos. De hecho, si $g\in H$ es el único de toda la función con $(z-\alpha)g = f$, entonces es fácil ver que $(t,z-\alpha) = \mathrm{ann}_{A}(tg)$.